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[¯|¯] Einstein ha ingoiato Newton vivo

Febbraio 9th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Ci proponiamo di confrontare Newton con Einstein, per ciò che riguarda la forza di gravità. In altre parole, vogliamo sottolineare le sostanziali differenze (rivoluzionarie, per ciò che riguarda la nozione di spazio e tempo) tra la Teoria gravitazionale di Newton e la Relatività Generale formulata da Albert Einstein nel lontano 1916.









Isaac Newton dice: il campo gravitazionale generato da una particella di massa (gravitazionale) M, collocata nell'origine di un sistema di riferimento inerziale K(Oxyz), deriva da un potenziale

dove G è la costante di gravitazione universale ed r la coordinata radiale (i.e. la distanza dall'origine) del punto dove voglio determinare il predetto campo. Più precisamente, se in tale punto ci metto una particella di massa m, l'energia potenziale (gravitazionale) si scrive:

È chiaro che dal potenziale φ(r) deriva una forza conservativa, che è ovviamente l'attrazione gravitazionale tra M e m. Incidentalmente possiamo assumere M >> m, per cui è trascurabile il campo creato da m o comunque il suo effetto perturbatore sul campo generato da M (esattamente come nel caso dell'elettrostatica, quando si vuole determinare la forza di Coulomb su una carica di prova). A questo punto il gioco è fatto, perché se conosco il potenziale, quindi la forza, mi vado a risolvere l'equazione differenziale del moto per ottenere la traiettoria della particella di massa m nel campo gravitazionale generato da M. Questo non è altro che il famoso problema dei due corpi (si pensi alla messa in orbita di satelliti artificiali, al moto di un pianeta attorno a una stella, etc.). Ne consegue che la teoria newtoniana funziona benissimo per tali processi fisici. Un'analisi più attenta mostra che in questo tipo di processi, siamo in regime di campo gravitazionale debole. Di contro, ci si aspetta l'esistenza di altri processi in cui il campo gravitazionale è l'interazione dominante. Si pensi ad esempio, alle stelle di neutroni o addirittura ai black holes (in quest'ultimo caso, non esiste allo stato attuale delle conoscenze, una teoria che sia in grado di comprendere la fisica di tali oggetti). Detto in altro modo, la teoria newtoniana della gravitazione esce dal proprio dominio di validità per tali sistemi fisici, per cui siamo costretti a ricorrere a una teoria più generale, che è proprio la Relatività Generale. Qui al posto del potenziale scalare, abbiamo un sistema di equazioni differenziali le cui funzioni incognite sono i potenziali del campo. Precisamente, sussistono le famose equazioni di Einstein:

Vediamo cosa sono questi termini. Innanzitutto, ricordiamo che nella teoria newtoniana il "mago" di tutto il processo fisico in esame, è la massa M collocata in r=0. Nel caso einsteniano, invece, il ruolo svolto dalla materia è dato da quello strano oggetto che abbiamo denotato con Tµν a secondo membro dell'equazione appena scritta. Gli indici µ,ν variano da 0 a 3. Quindi Tµν è un oggetto a 16 componenti. Facciamo una precisazione: le varie grandezze dell'equazione sono funzioni delle coordinate spaziotemporali

xα=(x°,x¹,x²,x³),

dove l'indice scritto in alto non denota ovviamente un'elevazione a potenza, ma semplicemente mi sta enumerando le componenti. Abbiamo cioè un vettore o meglio un 4-vettore. La componente x° è di tipo temporale, mentre le rimanenti sono di tipo spaziale. Incidentalmente, la Relatività (sia Speciale che Generale), non fa altro che fondere lo spazio con il tempo in un unico ente geometrico denominato spaziotempo, a differenza del paradigma newtoniano in cui lo spazio 3-dimensionale è ben distinto dalla dimensione temporale implementata da una variabile indipendente appartenente a (-oo,+oo). Un generico "punto" dello spaziotempo è, dunque, un evento che avviene in un determinato punto dello spazio tridimensionale e in un dato istante. Tuttavia, questi termini vanno presi con le molle, poichè in Relatività Generale le coordinate spaziotemporale sono dei label ossia delle etichette che applichiamo ai singoli punti dello spaziotempo. Ritornando al 4-vettore della posizione, vediamo giustamente che è dotato di un solo indice. Ne consegue che se vedo una grandezza a doppio indice del tipo Tµν, vuol dire che ho a che fare con una generalizzazione del concetto di vettore. Ed è proprio così, poichè si tratta di un tensore. È chiaro che posso aggiungere altri indici del tipo Aµνσ etc., in modo da contemplare tensori di rango r > 2. E questi indici possono essere scritti anche in alto, ottenendo grandezze differenti che vengono processate dall'altro oggetto che vediamo al primo membro: gµν (e anche dalla sua controparte gµν). Nello specifico, gµν è il cosiddetto tensore metrico. Già dal nome si capisce che tale grandezza ha che fare con la "distanza" tra punti infinitamente vicini dello spaziotempo. In Relatività Generale, gµν rimpiazza il potenziale scalare φ newtoniano. Abbiamo 16 grandezze anziché una! Attenzione, però: gµν è simmetrico rispetto agli indici, per cui alla fine abbiamo 10 grandezze indipendenti. Ma non è comunque uno scherzo: siamo passati da un solo potenziale newtoniano a 10 potenziali relativistici. Un'ulteriore complicazione sta nel fatto che le rimanenti grandezze Rµν (tensore di Ricci) e R (scalare di curvatura) si esprimono attraverso le derivate parziali di gµν rispetto alle coordinate spaziotemporali, fino al secondo ordine e che le varie relazioni sono nonlineari (ciò perché il campo gravitazionale non obbedisce al principio di sovrapposizione degli effetti). In parole povere, abbiamo un sistema di 10 equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine e in aggiunta nonlineari! Fortunatamente, i fisici sanno sfruttare le simmetrie del problema in esame per poter integrare tale sistema.
Da questa sommaria sintesi abbiamo capito una cosa importante: il Calcolo Tensoriale è il building block della Relatività Generale.

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