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[¯|¯] Disequazioni irrazionali (parte seconda)

26 Gennaio, 2020 | by Marcello Colozzo |

disequazioni irrazionali,mathematica
Fig. 1

Passiamo a una disequazione irrazionale un pò più complicata di quella precedente:


dove q(x) è un polinomio di grado assegnato. Dobbiamo distinguere i due casi:

Nel caso 1 dobbiamo imporre la realtà del radicale a primo membro, dopodichè elevare al quadrato primo e secondo membro per poi risolvere la disequazione risultante. In breve, nel caso 1 dobbiamo risolvere il sistema di disequazioni:


Ricordiamo che risolvere un sistema di disequazioni vuol dire eseguire le intersezioni degli insiemi soluzione di singola disequazione. Denotiamo, allora, con S1 l'insieme delle soluzioni del sistema scritto più sopra.








Nel caso 2 dobbiamo solo imporre la realtà del radicale a primo membro, poiché dal momento che q(x) < 0 e sqrt(p(x)) > 0, la disequazione è automaticamente soddisfatta. Quindi il caso 2 restituisce il sistema di disequazioni:


e chiamiamo S2 il suo insieme di soluzioni. A questo punto, non dobbiamo eseguire l'intersezione degli insiemi S1 e S2, bensì l'unione di tali insiemi. Ciò perchè dobbiamo appunto cercare l'unione delle soluzioni e non quelle in comune.
Esercizio
Risolvere la disequazione


Soluzione
Il primo sistema è

le cui singole disequazioni si risolvono facilmente:


Ora non dobbiamo fare altro che costruire il solito diagramma, in modo da eseguire l'intersezione delle singole soluzioni. Dalla fig. 1 vediamo subito che non esistono soluzioni comuni, ovvero l'intersezione è vuota:


Il secondo sistema da risolvere è


Risolviamo le singole disequazioni

Costruendo il grafico vediamo che

Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione assegnata è


Volendo verificare con Mathematica, ricordiamo che l'istruzione da utilizzare è Reduce la cui sintassi è Reduce[diseq,x].

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