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[¯|¯] Il treno di Mandò

19 Gennaio, 2020 | by Marcello Colozzo |

treno,cinematica, fisica 1
Fig. 1

Il seguente esercizio è tratto da Esercizi e problemi di fisica. Volume I: Meccanica - Termologia . La prima bozza di questo famoso libro è nata in un campo di concentramento nazista, dove l'autore era prigioniero. Tale circostanza ci ha suggerito di modificare il titolo (mantenendo invariato l'esercizio) in modo da ricordarne l'origine.


Un treno ha una velocità di regime di 72 km/h . Si sa che, azionando i freni, lo si può fermare in 20 s. Ammettendo che il moto del treno sia, durante la frenata, uniformemente ritardato, si calcoli a quale distanza dalla stazione occorre far agire i freni. Se poi alla partenza si ammette di poter raggiungere la stessa velocità di regime con un moto uniformemente accelerato, con accelerazione di 0.5 m/s², si calcoli il tempo perduto nella fermata in più del tempo effettivo di sosta.


Soluzione
Assumiamo un asse x con origine nel punto in cui vengono azionati i freni (istante iniziale t=0) ed orientato verso la stazione che dista d. Quest'ultima grandezza è proprio lo spazio di frenata del treno, se vogliamo che il convoglio si arresti proprio nel punto che sull'asse x rappresenta la stazione medesima. Per determinare d l'esercizio fornisce il tempo di arresto t1=20s e la velocità iniziale v0=72 km/h=20m/s . L'equazione oraria del moto si scrive:


essendo a1 il modulo della decelerazione (che non conosciamo). Derivando otteniamo la velocità

e quindi la decelerazione

giacché t1 (tempo di arresto) è uno zero della velocità










Ora siamo in grado di determinare lo spazio di frenata:

Volendo possiamo calcolare la decelerazione

Il secondo quesito chiede di calcolare il tempo perduto a causa della fermata nella stazione, cioè la differenza T1-T2, dove T1 è il tempo impiegato per percorrere lo spazio di frenata più la distanza percorsa nella fase accelerata fino al raggiungimento della velocità di regime. L'intervallo T2 è invece, il tempo richiesto per percorrere la distanza totale (cioè spazio di frenata + distanza fino alla velocità di regime) a velocità costante v0. Abbiamo

dove Δt è il tempo impiegato per raggiungere la velocità di regime:

La distanza percorsa fino al raggiungimento della predetta velocità è


per cui

Quindi il tempo perduto è


In definitiva, l'equazione oraria del moto del treno è


il cui grafico è il diagramma orario plottato in fig. 1, in cui notiamo un flesso F a tangente orizzontale, corrispodente alla fermata. Più precisamente, si tratta di un punto di arresto senza inversione del moto (per ipotesi il treno riparte nello stesso istante).

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