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[¯|¯] Integrale di superficie esteso a una porzione di superficie laterale di un cono

Novembre 21st, 2019 | by Marcello Colozzo |

integrale di superfice,cono
Fig. 1

Esercizio
Calcolare


dove S è la porzione di superficie laterale del cono z²=x²+y², compresa tra i piani z=0 e z=1, come illustrato in fig. 1.

Passiamo alle coordinate cilindriche


Dall'equazione del cono

che suggerisce la seguente rappresentazione parametrica


ove il dominio base è il seguente dominio rettangolare









Dobbiamo ora calcolare l'elemento d'area che come è noto, è dato da

essendo


con


Segue


Si noti che F=0 si poteva calcolare a occhio, giacché il sistema di coordinate cilindriche è manifestamente ortogonale (i.e. le linee coordinate sono ortogonali, pur essendo un sistema di coordinate curvilinee). Quindi EG-F^2=2*z^2.
Alternativamente, si scrive la matrice jacobiana relativa alla rappresentazione parametrica adottata:

Per una nota proprietà, se L,M,N è la terna di minori del secondo ordine estratti da J e presi con segni alterni, si ha


da cui il risultato precedente. Quindi l'elemento d'area è

Possiamo finalmente calcolare


Cioè

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