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[¯|¯] Il Teorema della divergenza in coordinate sferiche

Novembre 7th, 2019 | by Marcello Colozzo |

teorema della divergenza, coordinate sferiche
Fig. 1


Esercizio
Assegnato il campo vettoriale in coordinate sferiche

verificare il teorema della divergenza per il seguente dominio

per un'assegnata colatitudine θ0, come illustrato in fig. 1

Soluzione

Rammentando l'espressione dell'elemento di volume in coordinate sferiche, si ha che il teorema della divergenza nel caso in esame si scrive:


Poniamo

Per determinare la divergenza del campo vettoriale assegnato, utilizziamo la nota formula

ottenendo

Segue

Cioè








Passiamo ora al secondo integrale. La frontiera di D può scriversi:


dove S1 ha la ovvia rappresentazione parametrica

Il versore n1 è ortogonale a S1 ed è orientato verso l'esterno di D, onde

Una rappresentazione parametrica della superficie S2 è

Il versore n2 è ortogonale a S2 ed è orientato verso l'esterno di D, onde è manifestamente

L'elemento di superficie su S2 è

essendo

l'angolo solido elementare, per cui

Ciò implica

Ne concludiamo



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