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[¯|¯] Prodotti infiniti

Agosto 30th, 2019 | by Marcello Colozzo |

prodotti infiniti,convergenza

Definizione
Assegnata una successione di numeri complessi


si dice
prodotto infinito (numerico) relativo a tale successione, il simbolo:


I termini della successione si dicono
fattori del prodotto infinito assegnato.
Si dice
prodotto parziale di ordine n il numero complesso:










Al prodotto infinito assegnato possiamo, dunque, associare univocomanete la successione di numeri complessi:


Definizione
Il prodotto infinito


è
convergente se

In altri termini, un prodotto infinito è convergente se tale è la successione dei prodotti parziali; in particolare tale successione tende a un limite non nullo. In tal caso, il predetto limite si chiama valore del prodotto infinito, e si scrive:

Definizione
Il prodotto infinito

è
nullo se se la successione dei prodotti parziali è infinitesima. In tal caso scriviamo


Evidentemente

Cioè se è nullo uno dei fattori, il prodotto infinito è nullo. Ma non è vero il viceversa. Inoltre:


Cioè se la successione dei fattori è infinitesima, il prodotto infinito è nullo. Ma non è vero il viceversa. Quest'ultimo punto non è così ovvio. Prendiamo allora il prodotto infinito sui reali (la generalizzazione a C è immediata)


il cui calcolo è nella fig. al top di questa pagina, con la verifica fatta con Mathematica

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