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[¯|¯] La funzione xi di Riemann e gli spin networks di Penrose

Agosto 28th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Riprendiamo lo sviluppo di Taylor della funzione ξ(z) di Riemann, ma questa volta di punto iniziale z=1/2 anzichè z=0. Le ragioni di questa modifica sono da ricercarsi nel fatto che è già noto l'ultimo sviluppo, come possiamo leggere da quest'articolo. Nella nostra notazione abbiamo:


In particolare abbiamo uno sviluppo con termini pari, a causa della simmetria della ξ(z) rispetto alla retta per il punto del piano complesso z=1/2 e parallela all'asse immaginario. Osserviamo che il predetto sviluppo venne elaborato da Riemann, il quale fornì per i coefficienti la seguente espressione:

essendo θ(t) la funzione theta di Jacobi:









La somma parziale di ordine n è il polinomio di grado 2n

ed è un elemento dello spazio vettoriale complesso P2n[z] i cui elementi sono i polinomi di grado minore o uguale a 2n. Come è noto, tale spazio dimensione 2n+1, ed è isomorfo a C2n+1. Interpretando l'intero naturale n alla stregua di un numero quantico di spin (s) e introducendo in C2s+1 una struttura di spazio unitario (definendo un prodotto hermitiano e relativi assiomi), si ha che il predetto spazio implementa gli stati di spin per una particella di spin s in regime non relativistico. Più precisamente:

Per s?+8, lo spazio unitario C2s+1 diviene uno spazio di Hilbert (in quanto infinito-dimensionale):

Come è noto, tali oggetti hanno un significato fisico solo se sono normalizzabili (in tal caso di parla di funzioni d'onda di spin o spinori). A tale scopo, osserviamo che una qualunque trascendente intera (e quindi, la funzione ξ(z)) è definita dalla distribuzione dei suoi infiniti zeri ρk, a meno di un coefficiente di proporzionalità. In altri termini, la successione {ρk} individua un sottospazio vettoriale 1-dim. di H. Ne consegue che possiamo considerare non una ma oo¹ funzioni &xi(z) che hanno in comune gli zeri. Tra queste infinite funzioni, esiste ed è unica quella di norma unitaria. Dalla definizione di norma:

per cui possiamo normalizzare lo spinore:

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