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[¯|¯] Gli zeri della funzione zeta di Riemann sono le singolarità della sua derivata logaritmica

Agosto 6th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Se z=x+iy è l'usuale variabile complessa, la funzione zeta di Riemann è definita come:


dove il pedice HE denota l'estensione olomorfa i.e. il prolungamento analitico della funzione assegnata. Ricordiamo che la funzione zeta è olomorfa in tutto C tranne nel punto z=1, dove ha un polo semplice:

Si tratta, quindi, di una funzione meromorfa.







La derivata logaritmica è definita come


dove l'apice denota l'operazione di derivazione complessa. Riesce


giacchè la derivata prima è ancora una somma (ove converge) di una serie di Dirichlet. Nello specifico, tale serie ha coefficienti cn=-ln(n).
Ciò premesso, dimostriamo il seguente teorema che risolve l'indeterminazione: se z0 è uno zero della funzione zeta e della sua derivata prima, si ha:

Teorema


Dim.

Supponiamo che z0 sia uno zero di ordine n. Cioè


Applicando la regola di De L'Hospital:


onde l'asserto.
c.d.d.

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