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[¯|¯] Interpretazione geometrica della congettura di Riemann

Luglio 23rd, 2019 | by Marcello Colozzo |

congettura di Riemann,interpretazione geometrica
Fig. 1

Ricordiamo che la serie di Dirichlet che restituisce la funzione zeta di Riemann ζ(x+iy), converge nel semipiano x > 1, mentre per x < = 1 si considera la sua estensione olomorfa. Inoltre, il punto (1,0) è una singolarità polare. Prendendo il modulo


si ha che la funzione reale e non negativa f, ha gli stessi zeri e le stesse curve di livello della ζ:

che denotiamo con








Per quanto precede


Ci si aspetta, dunque, che al crescere indefinito della costante reale e non negativa |C|, le curve di livello si "assottigliano" attorno alla singolarità. Ciò è confermato dal grafico di fig. 1. Geometricamente, l'operazione di passaggio al limite che restituisce +oo, si scrive:

cioè la curva di livello tende alla singolarità (1,0). Sempre dallo stesso grafico vediamo che nel caso opposto (|C| decrescente) le curve di livello tendono ad "allargarsi". Per la congettura di Riemann dovrà aversi


dove a secondo membro troviamo la retta critica

Più precisamente, si ha una perdita di cardinalità del luogo ΓC, nel senso che nella predetta operazione di passaggio al limite, tale luogo si riduce a un insieme discreto di punti appartenenti alla retta critica:

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