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[¯|¯] Il Teorema della divergenza nello spazio euclideo 3-dim.

Luglio 22nd, 2019 | by Marcello Colozzo |

teorema della divergenza,flusso di un campo vettoriale
Fig. 1

I risultati precedenti si generalizzano immediatamente al caso tridimensionale ovvero allo spazio euclideo R³. Più specificatamente, si scrivono le formule di Green nello spazio per poi formulare il teorema della divergenza.
Definizione

A un campo vettoriale F(x,y,z) possiamo associare il seguente campo scalare:


che si dice
divergenza di F.

Teorema della divergenza

Assegnato un campo vettoriale F(x,y,z) sufficientemente regolare in un dominio D di R³, comunque prendiamo A contenuto in D, si ha:


Per "sufficientemente regolare" intendiamo quanto segue: le componenti cartesiane di F sono funzioni continue in D e ivi dotate di derivate parziali continue.








Il secondo membro è il flusso del campo vettoriale F(x,y,z) uscente dalla superficie chiusa "frontiera di A":


Più precisamente, n è il versore della normale esterna alla predetta frontiera, determinato nel generico punto P, mentre dσ è l'elemento di superficie, per cui

definisce l'elemento di superficie "vettoriale". Il termine differenziale

è il flusso elementare del campo vettoriale F(x,y,z) attraverso l'elemento di superficie dσ (fig. 1). Si noti che se nel generico punto x di frontiera di A il vettore F(x) è ivi tangente a detta superficie, si ha in tale punto


per cui è ivi

Un'interpretazione intuitiva della divergenza di un campo vettoriale in termini di flusso, è

avendo posto dV=d³x ossia l'usuale elemento di volume nello spazio euclideo 3-dim. Più rigorosamente, preso ad arbitrio un dominio T contenuto in A, per il teorema della media si ha:

per cui

Prendiamo ad arbitrio un punto P interno a T, dopodiché contraendo indefinitamente T su tale punto, si ha Q->P onde

che definisce la divergenza localmente, cioè indipendentemente dalle componenti cartesiane del vettore F. In tal modo la divergenza di un campo vettoriale in un generico punto P, è il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso una piccola superficie che racchiude P, e il volume delimitato da tale superficie.


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