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[¯|¯] Teorema della divergenza nel piano

Luglio 21st, 2019 | by Marcello Colozzo |

teorema della divergenza nel piano

Abbiamo visto che per un assegnato dominio regolare D di R2, l verso positivo della frontiera di D è quello percorso da un osservatore che si muove lungo la curva generalmente regolare


lasciando alla sua sinistra l'interno di D. Tale verso positivo induce a sua volta, un orientamento positivo della retta tangente τ alla predetta curva in un suo punto regolare. La retta tangente individua poi la retta normale alla frontiera di D, che può essere orientata in modo che la coppia di assi τn sia congruente alla coppia di assi coordinati xy, cioè in modo da aversi


Dalla seguente figura:


vediamo che


Tali relazioni ci consentono di esprimere i coseni direttori dell'asse n attraverso i coseni direttori dell'asse τ:









Consideriamo ora una forma differenziale lineare X(x,y)dx+Y(x,y)dy e quindi l'integrale di circuitazione:


Supponendo nota la rappresentazione naturale di frontiera di D, cioè la rappresentazione parametrica in cui il parametro è l'ascissa curvilinea s:

si ha:

Dalla Geometria differenziale sappiamo che il versore della retta tangente alla curva di rappresentazione naturale data più sopra, è

dove i,j sono i versori degli assi coordinati x,y. Dalla Geometria analitica sappiamo che i coseni direttori di una retta orientata sono le componenti cartesiane del suo versore, onde:

Tenendo conto delle formule scritte più sopra:


cosicché


Tale risultato ci permette di esprimere in maniera più concisa il seguente teorema che è una conseguenza del teorema di Green:
Teorema della divergenza
Sia D un dominio regolare.
Se le funzioni f(x,y) e g(x,y) sono continue in D assieme alle derivate parziali fx(x,y), gy(x,y):


Le funzioni f(x,y) e g(x,y) che verificano le ipotesi del teorema della divergenza possono essere pensate come le componenti cartesiane nel piano xy, del campo vettoriale.


Definizione

A un qualunque campo vettoriale u(x,y) possiamo associare il campo scalare


che si dice
divergenza del campo vettoriale assegnato.

Dalla formula appena scritta vediamo che divu è l'integrando dell'integrale doppio del teorema della divergenza. Esplicitiamo l'integrale di circuitazione:


essendo n il versore della normale n a frontiera di D:

Ne concludiamo

Nelle applicazioni si considera la normale esterna a frontiera di D il cui versore è n'=-n:

Tale risultato che esprime il teorema della divergenza nelle applicazioni, ha una notevole interpretazione fisica. Definiamo il flusso elementare del campo vettoriale u

Integrando su frontiera di D, otteniamo il flusso del campo vettoriale u(x,y) uscente da D attraverso la sua frontiera:

Per il teorema della divergenza:


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