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[¯|¯] Non tensorialità dei Gamma Symbols

Luglio 15th, 2019 | by Marcello Colozzo |

gamma symbols,connessioni affini,tensore

Abbiamo definito i Gamma Symbols attraverso degli "oggetti" a tre indici, per cui ci poniamo l'ovvia domanda: sono enti tensoriali? Per rispondere riprendiamo l'espressione che definisce la derivata covariante di un vettore Aµ:


In seguito a una generica trasformazione di coordinate si ha:









Si potrebbero scrivere le corrispondenti formule di trasformazione per poi sostituirle per così tirare fuori l'equazione di trasformazione delle Gamma. Ma proviamo il seguente procedimento:


Precisamente, la derivata ordinaria trasforma come:


Segue allora che affinchè la differenza


ia un tensore, i Gamma Symbols dovranno trasformarsi come:


Per esplicitare il secondo termine a secondo membro, prendiamo l'ovvia relazione


Sviluppando la derivata:


Cioè


che sostituita nell'equazione scritta più sopra:

Da tale relazione vediamo che i Gamma Symbols non sono tensori, a causa del termine contenente la derivata seconda, e quest'ultimo si annulla solo per trasformazioni lineari.



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