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[¯|¯] Derivata covariante

Luglio 15th, 2019 | by Marcello Colozzo |

derivata covariante,derivata tensoriale

Riprendiamo il problema della determinazione della derivata di un vettore covariante Aµ(x) definito sulla solita varietà differenziabile spaziotempo. Per definizione di derivata:


Per quanto visto nei numeri precedenti, il numeratore nel termine a secondo membro non è un vettore, e per renderlo tale dobbiamo trasportare parallelamente il vettore Aµ da x a x+dx, per cui il numeratore va riscritto come:









Rammentiamo che δAµ è l'incremento infinitesimo delle componenti del vettore in seguito all'operazione di trasporto parallelo. Precisamente:


onde

Poniamo per definizione:

dove Aµ,ν denota la derivata ordinaria, mentre Aµ;ν è la derivata covariante del vettore Aµ. Applicando il medesimo procedimento a un vettore controvariante Bµ, si trova facilmente:

Osserviamo che la denominazione "derivata covariante" potrebbe generare confusione perché la derivata covariante Bµ; non è un tensore covariante, per cui è più sensato parlare di derivata tensoriale. Sfortunatamente il termine "covariante" è divenuto di uso comune.
È facile generalizzare le formule ottenute, ricavando la derivata covariante di campi tensoriali. Ad esempio:



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