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[¯|¯] Trasporto parallelo di un vettore in una varietà differenziabile. Connessioni affini

Luglio 13th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1

Consideriamo la nostra varietà differenziabile spaziotempo M. Assegnato un qualunque campo vettoriale covariante Aµ(x), abbiamo visto come si trasformano le sue componenti in seguito a una trasformazione di coordinate {xµ}->{x'µ}:


Determiniamo la legge di trasformazione della derivata di tale campo:

Osservando che

Ne consegue








Cioè


In altri termini

è un tensore (covariante di rango 2) solo rispetto alle trasformazioni lineari. Tale proprietà è verificata in un qualunque spaziotempo. In particolare, in uno spaziotempo piatto la predetta grandezza è un tensore solo rispetto alle trasformazioni di Lorentz. In uno spaziotempo piatto, una qualunque passaggio dalle coordinate rettangolari a coordinate curvilineo, distrugge il carattere tensoriale di tale ente.
Tutto questo è dovuto al fatto che in generale (cioè rispetto a una qualunque trasformazione non lineare), i coefficienti della trasformazione

cioè i generici elementi di matrice della jacobiana inversa:

sono funzioni di punto-evento, per cui

onde il carattere non tensoriale della derivata. Detto in altro modo, il vettore Aµ(x) si trasforma in modo diverso al variare di x. Quindi se passiamo da x a x+Δx, la differenza

non è un vettore. Ne consegue che il limite del rapporto incrementale ovvero la derivata:

non è un tensore. Se vogliamo costruire un oggetto che sia contemporaneamente una derivata e un tensore, dobbiamo in qualche modo trasportare parallelamente il vettore Aµ da x a x+Δx. Dobbiamo cioè eseguire il cosiddetto trasporto parallelo di unu vettore come illustrato in fig. 1, dove

è il vettore Aµ(x) trasportato parallelamente nel punto x+Δx. Per quanto precede, in uno spaziotempo curvo o in uno spaziotempo piatto in coordinate curvilinee, ci aspettiamo che le componenti cambiano in seguito al trasporto parallelo. Per uno spostamento infinitesimo, scriviamo:

dove Γµαν sono 4³ funzioni di punto-evento non meglio specificate. La linearità dell'incremento delle componenti in Aν e dxα, è essenziale. In particolare la linearità rispetto al vettore garantisce che

Le funzioni Γµαν si chiamano connessioni affini.



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