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[¯|¯] Campi tensoriali covarianti e campi tensoriali controvarianti

Luglio 5th, 2019 | by Marcello Colozzo |

campi tensoriali covarianti,campi tensoriali controvarianti,4-vettori controvarianti

La schematizzazione dello spaziotempo attraverso una varietà differenziabile pseudoriemanniana, ci permette di estendere a tale ente i potenti metodi dell'Analisi. Infatti, in Analisi matematica vengono trattate funzioni di punto:


essendo X un sottoinsieme non vuoto di Rn. Inoltre, una funzione di punto può essere pensata come la generica componente di un campo vettoriale. Precisamente:








Abbiamo, cioè, un vettore a n componenti applicato nel generico punto P dello spazio euclideo n-dimensionale. Il problema che ci poniamo è di estendere tali enti alla nostra varietà M. Partiamo dal caso più semplice: un campo scalare ossia una funzione di punto


dove senza perdita di generalità, consideriamo tale funzione definita su tutta la varietà. Abbiamo visto che in Relatività Generale ciò che fisicamente conta è rappresentato dalle trasformazione di coordinate. Quindi per poter estendere a M i predetti enti (campi scalari, campi vettoriali), dobbiamo fissare rigidamente la loro legge di trasformazione rispetto a una qualunque trasformazione di coordinate. Partiamo dal campo scalare appena scritto. Per quanto precede:

Qui abbiamo posto come di consueto

Comunque eseguiamo una trasformazione di coordinate:

il campo φ(x) trasforma come

ossia è invariante. Passiamo ai campi vettoriali. Fissiamo innanzitutto la nostra attenzione sulla legge di trasformazione dei differenziali delle coordinate:

Cioè

essendo

il generico elemento di matrice della matrice jacobiana della trasformazione assegnata. Consideriamo poi l'operatore 4-gradiente:


che trasforma come

ovvero

essendo

il generico elemento di matrice dell'inversa della matrice jacobiana. Ciò premesso, abbiamo le seguenti definizioni:

Definizione
Un campo vettoriale controvariante è un ente a 4 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come i differenziali delle coordinate. Cioè


Un
campo vettoriale covariante è un ente a 4 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come l'operatore 4-gradiente. Cioè

Denominazioni alternative:
4-vettore controvariante e 4-vettore covariante

A scanso di equivoci, un qualunque ente a 4 componenti non è detto che sia un 4-vettore. Ad esempio, x^{µ} non un 4-vettore; in tal caso fanno eccezione le trasformazioni lineari (i.e. le trasformazioni di Lorentz):


essendo bµν costanti. Segue

onde il carattere di 4-vettore controvariante solo sotto trasformazioni di Lorentz. Ciò implica che fino a quando ci riferiamo alla Relatività Ristretta, le coordinate xµ di un generico evento compongono un 4-vettore controvariante. Ma ciò non è più vero in Relatività Generale.
Le precedenti definizione si generalizzano ad enti del tipo tensore.

Definizione
Un 4-tensore controvariante di rango 2 è un ente a 16 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


Un
4-tensore covariante di rango 2 è un ente a 16 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come

Un
4-tensore controvariante di rango r è un ente che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


Un
4-tensore covariante di rango r è un ente che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


Un
4-tensore controvariante di rango r e covariante di rango s è un ente che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


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