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[¯|¯] Campi tensoriali covarianti e campi tensoriali controvarianti

Luglio 5th, 2019 | by Marcello Colozzo |

campi tensoriali covarianti,campi tensoriali controvarianti,4-vettori controvarianti

La schematizzazione filmi full izle dello spaziotempo attraverso una varietà differenziabile pseudoriemanniana, ci permette di estendere a tale ente i potenti metodi dell'Analisi. Infatti, in Analisi matematica vengono trattate funzioni di punto:


essendo X un sottoinsieme non vuoto di Rn. Inoltre, una funzione di punto può essere pensata come la generica componente di un campo vettoriale. Precisamente:








Abbiamo, cioè, un yerli filmler vettore a n componenti applicato nel generico punto P dello spazio euclideo n-dimensionale. Il problema che ci poniamo è di estendere tali enti alla nostra varietà M. Partiamo dal caso più semplice: un campo scalare ossia una funzione di punto


dove senza perdita di generalità, altyazılı film izle consideriamo tale funzione definita su tutta la varietà. Abbiamo visto che in Relatività Generale ciò che fisicamente conta è rappresentato dalle trasformazione di coordinate. Quindi per poter estendere a M i predetti enti (campi scalari, campi vettoriali), dobbiamo fissare rigidamente la loro legge di trasformazione rispetto a una qualunque trasformazione di coordinate. Partiamo dal campo scalare appena scritto. Per quanto precede:

Qui abbiamo posto come di consueto

Comunque eseguiamo una trasformazione di coordinate:

il campo φ(x) trasforma come

ossia è invariante. Passiamo ai campi vettoriali. Fissiamo innanzitutto la nostra attenzione sulla legge di trasformazione dei differenziali delle coordinate:

Cioè

essendo

il generico elemento di matrice della matrice jacobiana della trasformazione assegnata. Consideriamo poi l'operatore 4-gradiente:


che trasforma come

ovvero

essendo

il generico elemento di matrice dell'inversa della matrice jacobiana. Ciò premesso, abbiamo le seguenti definizioni:

Definizione
Un campo vettoriale controvariante è un ente a 4 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come i differenziali delle coordinate. Cioè


Un
campo vettoriale covariante è un ente a 4 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come l'operatore 4-gradiente. Cioè

Denominazioni alternative:
4-vettore controvariante e 4-vettore covariante

A scanso di equivoci, un qualunque ente a 4 componenti non è detto che sia un 4-vettore. Ad esempio, x^{µ} non un 4-vettore; in tal caso fanno eccezione le trasformazioni lineari (i.e. le trasformazioni di Lorentz):


essendo bµν costanti. Segue

onde il carattere di 4-vettore controvariante solo sotto trasformazioni di Lorentz. Ciò implica che fino a quando ci riferiamo alla Relatività Ristretta, le coordinate xµ di un generico evento compongono un 4-vettore controvariante. Ma ciò non è più vero in Relatività Generale.
Le precedenti definizione si generalizzano ad enti del tipo tensore.

Definizione
Un 4-tensore controvariante di rango 2 è un ente a 16 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


Un
4-tensore covariante di rango 2 è un ente a 16 componenti che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come

Un
4-tensore controvariante di rango r è un ente che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


Un
4-tensore covariante di rango r è un ente che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


Un
4-tensore controvariante di rango r e covariante di rango s è un ente che sotto una qualunque trasformazione di coordinate si trasforma come


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