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[¯|¯] Diffeomorfismi nello spaziotempo

Luglio 4th, 2019 | by Marcello Colozzo |

spaziotempo,varietà differenziabile,diffeomorfismo

In Relatività Generale lo spaziotempo è schematizzato da una varietà differenziabile 4-dim. che denotiamo con M. Rammentiamo velocemente che una varietà differenziabile è uno spazio topologico di Hausdorff localmente isomorfo a Rn, dove n è la dimensione della varietà. Più specificatamente, in un assegnato sistema di coordinate {xµ}} di M il quadrato dell'intervallo spaziotemporale tra due eventi infintamente vicini, si scrive:


Le grandezze gµν(x) sono funzioni di punto x=(xµ) e sono manifestamente simmetriche rispetto alla permutazione degli indici, per cui sono rappresentabili da una matrice simmetrica 4×4 che denotiamo con










Nella lezione precedente, abbiamo visto che in un intorno di un assegnato punto di M, le predette grandezze sono riducibili alla forma di Minkowsky:


Segue


Definizione
La quadrupla ordinata (+,-,-,-) si dice segnatura della metrica ημν;
Eseguiamo ora una trasformazione di coordinate {xµ}->{x} con equazioni di trasformazione:

per cui il generico elemento della matrice jacobiana J è


Prendendo in considerazione trasformazioni di coordinate con matrice jacobiana non singolare, si ha che il generico elemento di matrice dell'inversa della jacobiana è


Abbiamo già visto come si trasformano le componenti


che in termini di matrici si riscrivono


Dall'algebra lineare sappiamo che matrici legate da una relazione di questo tipo si dicono congruenti, e la predetta relazione è nota come relazione di congruenza. Ne consegue che una qualunque trasformazione non singolare di coordinate è una relazione di congruenza che lega le corrispondenti matrici. Una proprietà importante di tali relazioni è espressa dal Teorema di Sylvester, secondo cui una qualunque trasformazione di congruenza conserva il numero di autovalori di un segno assegnato. A sua volta, ciò implica che una qualunque trasformazione di coordinate conserva la segnatura (+,-,-,-), ed è facile persuadersi che:


Riassumendo: in questo "nuovo linguaggio", ciò che in Fisica è noto come sistema di riferimento, viene rappresentato da un sistema di coordinate. Nel formalismo della geometria differenziale, quest'ultimo è denominato carta. Notiamo incidentalmente che il passaggio da una carta ad un'altra, i.e. una trasformazione di coordinate, è in generale nonlineare (a differenza di ciò che avviene quando si passa da un sistema inerziale ad un altro). Matematicamente, parleremo di diffeomorfismo ovvero di una trasformazione di coordinate


tale che le funzioni


siano differenziabili ed invertibili, con inverse differenziabili. Cioè


Non sempre una carta riesce a ricoprire una varietà, e in tal caso si utilizzano più carte che compongono un atlante. Per rendere più chiaro il concetto di non ricopriemto globale, consideriamo il passaggio dalle coordinate cartesiane in R³ alle coordinate polari:


attraverso le note equazioni di trasformazione:


dove

Il determinante jacobiano è


per cui la matrice jacobiana è non singolare per r>0 e per θ diverso da π. Ne consegue che la carta polare non ricopre tutto lo spazio euclideo 3-dim.


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