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[¯|¯] La metrica di Riemann e la metrica di Finsler

Luglio 2nd, 2019 | by Marcello Colozzo |

metrica di Riemann,metrica di Finsler

Riprendiamo l'espressione del quadrato dell'intervallo spaziotemporale quale generalizzazione della metrica di Minkowsky:

avendo posto per semplicità di notazione x=(xα). Dalla equazione appena scritta vediamo che il ds² è una forma omogenea di primo grado, quadratica e indefinita. Più precisamente, con tale metrica lo spaziotempo diviene una varietà differenziabile pseudoriemanniana. Osserviamo poi che il ds² è automaticamente invariante per trasformazioni di coordinate. In seguito vedremo che tale invarianza conferisce al termine gµν il carattere di tensore covariante di rango 2.







Si noti comunque, che la generalizzazione più ovvia della metrica di Minkowski non è data dalla predetta equazione, nel senso che possiamo richiedere la sola omogeneità di grado 1 rispetto ai differenziali delle coordinate. Cioè


essendo f una funzione sufficientemente regolare. Ad esempio:

soddisfa quanto appena scritto, per cui è una possibile generalizzazione della metrica di Minkowski. Per n=4 si ottiene la metrica di Finsler.

Ne consegue che con i soli elementi di cui disponiamo non è possibile selezionare una possibile metrica dello spaziotempo. In altre parole, la metrica pseudoriemanniana è solo un caso speciale della metrica più generale

e non è detto che sia questa la scelta giusta. Nella prossima sezione utilizzeremo un noto principio che ci permette di selezionare la giusta metrica che sia in grado di descrivere l'interazione gravitazionale.



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