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[¯|¯] Estensione relativistica della teoria della gravitazione di Newton

Luglio 1st, 2019 | by Marcello Colozzo |

teoria della gravitazione di Newton,relatività ristretta,potenziale scalare

Come è noto, il potenziale scalare del campo gravitazionale (in regime newtoniano) generato da una sorgente puntiforme M, è

dove G è la costante di gravitazione universale, mentre r è il modulo del vettore posizione r=xi+yj+zk rispetto a un sistema di riferimento inerziale.








1° incompatibilità
Vediamo subito che nella teoria newtoniana l'interazione gravitazionale è un'azione a distanza, mentre in Relatività Ristretta una qualunque interazione non può superare la velocità della luce nel vuoto.
2° incompatibilità
La teoria newtoniana non ci dice come cambia l'interazione gravitazionale quando passiamo da un sistema di riferimento inerziale K ad un altro sistema K', poiché la sorgente è ferma nell'origine
Limite non-relativistico
Se collochiamo una particella di prova di massa m (cioè una carica gravitazionale) in r, l'energia potenziale è


Il moto della particella è non-relativistico se e solo se la sua energia potenziale è trascurabile rispetto alla sua energia di riposo:


ossia

che esprime il predetto limite non-relativistico. Nel tentativo di estendere la teoria newtoniana alla relatività ristretta, si potrebbe seguire il procedimento utilizzato in elettromagnetismo (legge di Coulomb). Ma ciò non è possibile, in quanto l'interazione gravitazionale è sempre attrattiva, a differenza di ciò che accade in elettrostatica in cui cariche dello stesso segno sono soggette a una forza repulsiva. Un secondo tentativo è rappresentato dalla possibilità di conservare l'espressione del potenziale gravitazionale, introducendo nel termine dell'energia cinetica della particella di prova la corretta espressione relativistica. Nello specifico, in [1] è riportato l'esempio di una particella relativistica che si muove nel potenziale gravitazionale (vedi la prima equazione scritta). Integrando le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange, si scopre che la traiettoria (piana) non è un ellisse come previsto dalla teoria newtoniana, bensì una rosetta ovvero una curva piana ottenuta da un'ellisse facendo precedere il perielio. Questo risultato suggestivo suggerisce a sua volta, di confrontare il risultato numerico nel caso dell'orbita del pianeta Mercurio, il cui perielio compie un moto di precessione in ragione di 43 secondi d'arco per secolo. Diversamente, il predetto risultato numerico restituisce 7 secondi d'arco, contraddicendo i dati sperimentali.



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