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[¯|¯] Generalizzazione del modello preda-predatore di Lotka-Volterra

Giugno 17th, 2019 | by Marcello Colozzo |

modello preda-predatore di Lotka-Volterra,mathematica,brown noise

In quest'articolo proponiamo una generalizzazione del modello preda-predatore di Lotka-Volterra. Precisamente, denotando con x(t) e y(t) le popolazioni (opportunatamente normalizzate) in funzione del tempo di un ecosistema a due componenti ove x rappresenta la preda e y il predatore, si ha:

dove abbiamo denotato le derivate rispetto al tempo utilizzando la notazione puntata. Per semplicità assumiamo pari a 1 i singoli coefficienti di proporzionalità, per cui

che compongono un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine. Osserviamo che in entrambe, il termine quadratico -x² (o -y²) rappresenta l'interazione con l'ambiente, nel senso che quest'ultimo dispone di una quantità limitata di risorse. Diversamente e in assenza di predatori, il sistema precedente si riduce all'equazione differenziale

ovvero a una crescita esponenziale et. Di contro, la quantità limitata di risorse determina una diminuzione della velocità di crescita in entrambe le popolazioni. Al sistema precedente, vanno aggiunte le condizioni iniziali


onde viene a definirsi un problema di Cauchy compatibile e determinato. Assumendo x0=y0=7 e risolvendo tale problema con Mathematica, otteniamo il grafico:

Da tale diagramma vediamo che dopo un transitorio iniziale, il sistema tende a una configurazione di equilibrio in cui il numero di prede è pari al numero di predatori.








Si noti che la configurazione di equilibrio viene raggiunta anche se il numero iniziale di predatori è maggiore del numero di prede, come illustrato nel grafico della seguente figura ove è x0=7, y0=27.


Per rendere più realistico il modello, si potrebbe aggiungere un rumore per ciò che riguarda il termine di accoppiamento. Precisamente:


essendo ß un Brown noise che come è noto, può essere implementato con Mathematica:


Al solito, risolvendo il sistema precedente con Mathematica, otteniamo la soluzione plottata in figura:

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