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[¯|¯] Il mistero delle soluzioni del tipo "onda vuota" dell'interpretazione di Bohm

Aprile 13th, 2019 | by Marcello Colozzo |

interpretazione di bohm,onde vuote, campo solenoidale

Una "particella" è un ente fisico molto più complicato della semplice schematizzazione del tipo simple location. Abbiamo infatti visto che il moto di una particella (classica o quantistica) equivale alla propagazione di un'onda di De-Broglie - Schrödinger - Bohm, nota come onda pilota. La funzione d'onda di tale oggetto è soluzione dell'equazione di Schrödinger:


dove m è la massa della particella che si muove in una regione dello spazio fisico R³ sede di un campo di forze di energia potenziale V(x). Come è noto, l'interpretazione Bohm è basata sulla forma polare della funzione d'onda:


che splitta l'equazione di Schrödinger in un sistema di due equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine, di cui la prima non lineare:










Con la posizione


la seconda assume la forma di un'equazione di continuità


che esprime localmente la conservazione della grandezza di densità ?. Nell'interpretazione di Bohm, la predetta grandezza è la probabilità di trovare la particella in un volume assegnato. Precisamente, se D è un dominio di R³, la grandezza


è la probabilità di trovare la particella al tempo t nel dominio D. Si noti che a differenza dell'interpretazione di Copenaghen in cui le probabilità sono epistemiche, nell'interpretazione di Bohm le probabilità derivano dalla nostra ignoranza circa lo stato quantistico del sistema. Attraverso un'applicazione del teorema della divergenza, l'equazione di continuità può essere scritta in forma integrale:


essendo

il flusso del campo vettoriale densità di corrente j(x,t) attraverso la superficie che compone la frontiera di D. Ciò premesso, è facile convincersi che se


è soluzione del precedente sistema, la funzione d'onda in opposizione di fase:


è a sua volta una soluzione, se la densità di corrente è un campo solenoidale i.e. a divergenza nulla. Infatti:

In tal modo l'equazione di continuità è automaticamente soddisfatta, mentre ?? risolve la prima equazione, in virtù del termine quadratico |grad(S)|² (invariante sotto la trasformazione S -> -S).
Ne consegue che al moto della particella i.e. alla propagazione di ψ+, dobbiamo necessariamente associare la propagazione di ψ-, nota come onda vuota. Si noti che tali onde non interferiscono, nel senso che una qualunque combinazione lineare di ψ+ e ψ- non è soluzione della prima delle equazioni scritte sopra a causa della sua non linearità.



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