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[¯|¯] Dagli spin networks allo spazio euclideo tridimensionale

Marzo 9th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Immagine tratta da Amazon.

Nel numero precedente, abbiamo asserito che per n->+oo ci aspettiamo un comportamento classico della rete di spin che darà luogo al concetto di direzione in un 3-spazio euclideo.
Per giustificare tale affermazione sono necessarie alcune premesse basate sulla nozione di spin in meccanica quantistica. Ad esempio, per un sistema di spin 1/2 abbiamo visto che lo spin può assumere solo due valori (±hbar/2). Per essere più precisi, è la componente del vettore S=(Sx,Sy,Sz) secondo uno degli assi coordinati, che può assumere i predetti valori. Senza perdita di generalità, possiamo riferirci all'asse z, per cui si presenta la situazione illustrata in fig.


Si badi che per la relazione di indeterminazione di Heisenberg, non è possibile misurare simultaneamente e con precisione assoluta una qualunque coppia di componenti cartesiane della grandezza vettoriale S. Ne consegue che la fig. precedente non va presa alla lettera, poichè non è possibile definire la grandezza S. È invece possibile misurare simultaneamente le grandezze:











Quando si parla di stati quantistici di momento angolare di spin definito, ci si riferisce ad autostati simultanei delle grandezze S² e Sk. Per quanto precede, Sk è una qualunque componente cartesiana di S, e noi per comodità assumiamo k=z. Generalizzando a un sistema di spin s, il numero di valori assunti da Sz è pari a 2s+1:

Passando al numero quantico di Penrose, si ha che il numero di valori assunti dalla componente Sz è pari a n+1:


Al crescere indefinito di n, i valori assunti da Sz compongono uno spettro discreto che diviene progressivamente più "fitto", e il limite per n->+oo restituisce uno spettro continuo da -oo a +oo:

Ma questo è proprio ciò che succede classicamente: le componenti cartesiane del momento angolare di spin di una trottola, possono variare con continuità da -oo a +oo:

essendo ω il vettore velocità angolare ed I il momento di inerzia della trottola rispetto all'asse di rotazione. A parità di momento d'inerzia, i.e. a parità di trottola, variando ω con continuità, S varia con altrettanta continuità. Questa argomentazione giustifica l'asserzione secondo cui il limite per n->+oo restituisce un comportamento classico. Questi sono risultati ben noti nel paradigma della meccanica quantistica. Probabilmente, l'intuizione iniziale di Penrose era basata proprio su questo ragionamento eseguito, però, in verso opposto: sia data una rete di spin inizializzata da


Allo step n-esimo, la rete diviene

Al limite per n->+oo


dove r è una direzione orientata dello spazio euclideo tridimensionale R³. Come è noto, nello spazio euclideo una direzione è una classe di equivalenza che determina una partizione di R³. In parole povere, il 3-spazio euclideo è l'unione di infinite classi di equivalenza, ciascuna delle quali è una direzione. Per quanto detto, una singola rete di spin dà luogo a una singola direzione. Per determinare una seconda direzione, è necessario partire da una seconda rete di spin, e così via all'infinito in modo da riprodurre l'intero 3-spazio. A nostro avviso, ciò contraddice il principio di Occam, per cui è più sensato partire da un'unica rete di spin che nel corso della sua crescita subisce un processo di frammentazione in un numero progressivamente crescente di reti distinte, ciascuna delle quali dà origine a una direzione. In tal modo viene riprodotto il 3-spazio euclideo.
Prima di concludere questo numero, facciamo un'osservazione importante. Si potrebbe obiettare che gli spin networks danno origine al 3-spazio euclideo e non allo spaziotempo della relatività ristretta che come è noto, è un 4-spazio pseudoeuclideo. Tuttavia il 3-spazio è proprio il risultato che ci si aspetta, giacché gli spin networks sono basati sulla regola di composizione del momento angolare di spin. Regola che appartiene al paradigma della meccanica quantistica non relativistica, per cui la rete non può dare luogo che a uno spazio tridimensionale euclideo.



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