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[¯|¯] Lo spaziotempo è l'output di un computer quantistico?

Marzo 8th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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.

Da premettere che stiamo in alto mare per ciò che riguarda gli spin networks di Penrose. Tuttavia, è preferibile procedere con i classici piedi di piombo, anche perchè a nostro avviso potrebbe esserci un legame inaspettato con la Quantum Computation. Cmabieremo la simbologia adottata nel numero precedente, in modo da rendere più chiari i concetti. Tra l'altro, la matematica che c'è dietro gli spin networks è tutt'altro che complicata, dando però per scontate le regole di composizione del momento angolare in meccanica quantistica non relativistica (regole tutt'altro che facili da dimostrare, per cui si raccomanda di consultare un buon testo di meccanica quantistica).








Ricapitolando, Penrose considera un insieme di "oggetti quantistici" dotati di momento angolare di spin. Quest'ultimo è individuato da un numero quantico s che può assumere valori interi o semi-interi, espressi in unità hbar, dove


essendo h la costante di Planck. Penrose definisce in funzione di s, un nuovo numero quantico n

che assume solo valori interi:

Penrose chiama i singoli oggetti n-unità. Noi preferiamo utilizzare il simbolo


eventualmente dotato di apice


dove l'indice k enumera le singole unità.
Definizione
Si dice spin network l'insieme

Per quanto precede, non esiste uno spazio di background. D'altra parte, l'insieme Σ può essere dotato di una struttura topologica, per cui un qualunque spin network è uno spazio topologico. Nello specifico, Penrose assegna a Σ la struttura topologica di grafo.
Consideriamo il caso n=1:

Qui è s=1/2, per cui - come è ben noto dalla meccanica quantistica - il corrispondente spazio di Hilbert è C², mentre il più generale vettore di stato si scrive (in notazione di Dirac):

Tale vettore di stato descrive uno stato quantistico di spin s=1/2, mentre i vettori componenti |+>,|->, esprimono stati quantistici in cui la componente del momento di spin lungo una direzione orientata assegnata, assume rispettivamente i valori

Riappare, dunque, il problema della presenza di una direzione in assenza di uno spazio di background. Questa contraddizione viene rimossa attraverso l'argomentazione che stiamo per esporre. Nel frattempo ricordiamo che lo stato |α> si assume normalizzato a 1, per cui i numeri complessi della combinazione lineare sono tali che

ed esprimono le probabilità di "trovare" |+> o|-> (si notino le virgolette, giacchè si ripresenta il problema della direzione). Ma per quanto precede, U¹ non è un sistema fisico. L'unica cosa che ci viene in mente è espressa dalla seguente identità:

Per essere più specifici, dal punto di vista della teoria dell'informazione le variabili dicotomiche |+> e |-> implementano una coppia di variabili statisticamente indipendenti. Infatti:
Definizione
Il bit è la quantità minima di informazione necessaria per distinguere due eventi statisticamente indipendenti relativi a un assegnato processo aleatorio.
Ad esempio considerando come processo aleatorio il lancio di una moneta, si ha che gli eventi statisticamente indipendenti relativi a tale processo, sono Testa e Croce ossia i possibili risultati del lancio medesimo. Quindi

Nel caso quantistico oltre ai bit classici |+> e |->, abbiamo un quantum bit, dato dalla combinazione lineare scritta in precednza che qui riproponiamo

Due n-unità

possono essere combinate in modo da formare una nuova unità, seguendo le regole di composizione del momento angolare. Precsiamente, se (con ovvio significato dei simboli):

possiamo avere una 0-unità risultante:

dove un prodotto del tipo |+>1|->2 è una conseguenza del prodotto tensoriale dei rispetti spazi di Hilbert. Le due 1-unità si diranno entangled, giacché i corrispondenti sistemi fisici realizzano un entanglement quantistico. Nel caso in esame, se la prima 1-unità è nel bit |+>, la seconda 1-unità è nel bit classico |->, e viceversa (da qui l'entanglement ovvero l'intreccio tra le due unità). Questo ragionamento può essere eseguito in ordine inverso: una qualunque 0-unità è costituita da due sotto-(1 unità). Utilizzo il simbolismo della teoria degli insiemi:

Penrose assume come configurazione iniziale di rete, il grafo

Si noti che la scelta n=0 (quindi s=0) non è casuale, giacché fisicamente s=0 significa assenza di una direzione privilegiata. Ok, non abbiamo uno spazio fisico; tuttavia dobbiamo in qualche modo tirarlo fuori dal grafo 🙂 , per cui la scelta s=0 appare più che ovvia. Ciascuna delle N 0-unità è a sua volta, composta da una coppia di 1-unità entangled, per cui la rete si è espansa passando dalla configurazione iniziale Σ0 a una nuova configurazione Σ1 in cui ci sono oltre alle N 0-unità, 2N 1-unità. A loro volta, queste possono combinarsi secondo le usuali regole di composizione del momento angolare, dando luogo a numeri quantici più elevati. A questo punto appare chiaro che Σ tende ad espandersi, per cui ci aspettiamo grandi numeri quantici. E come è ben noto, questo significa: comportamento secondo la fisica classica. Il lettore attento avrà già compreso che nel limite dei grandi numeri quantici emerge il concetto di direzione. Ciò sarà l'argomento di un prossimo post.



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