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[¯|¯] Base duale

Marzo 4th, 2019 | by Marcello Colozzo |

base duale,spazio duale
Fig. 1.

Iniziamo con il dimostrare il seguente lemma:
Lemma
Sia V uno spazio vettoriale n-dimensionale su un campo K, ed {esub>k} una sua base.


Dim.

Osserviamo innanzitutto che se


l'asserto è banalmente verificato dal funzionale nullo (i.e. vettore nullo dello spazio duale *V), per cui assumiamo:









Esistenza
Costruiamo la seguente applicazione da V verso K:


dove ξ12,...,ξn sono le componenti del vettore ξ nella base {e1,e2,...,e_n}. Manifestamente φ è un elemento di *V. Per ξ=e_k si ha


giacchè


Unicità
Supponiamo che

Quindi

onde


dove


Ne consegue

onde l'asserto.
c.d.d.

Consideriamo i funzionali lineari:


Riesce

Inoltre

cioè

Ciò premesso, dimostriamo il teorema "illustrato" in fig. 1.

Il sistema di vettori *Σ={θ1,...,θn} è univocamente determinato dalle


Per il lemma precedente si ha per un assegnato k in {1,2,...,n}:


Segue

Dobbiamo far vedere che *Σ è un sistema linearmente indipendente di ordine massimo, cioè:

Iniziamo con il punto 1, considerando l'equazione vettoriale:

Ne segue

Per ξ=eh}:


onde


per cui *Σ è linearmente indipendente. Passiamo al punto 2, considerando


Denotiamo con φk gli elementi di matrice di φ nella base {ek}:

Quindi applichiamo il funzionale


al vettore di base ek:


da cui

Segue


onde

Cioè φ dipende linearmente da *Σ, per cui *Σ' è linearmente dipendente, giacché abbiamo trovato un suo elemento che dipende linearmente dai rimanenti.

c.d.d.



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