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[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili

Marzo 2nd, 2019 | by Marcello Colozzo |

funzioni sommabili,criteri di sommabilità,teorema,condizioni sufficienti ma non necessarie
Fig. 1.


Abbiamo stabilito l'esistenza di una classe di funzioni continue in (-oo,+oo) ed ivi sommabili, pur non annullandosi all'infinito. La più generale funzione della predetta classe è:


ove b > 0, mentre η(x) se non è una costante è divergente all'infinito. invece, la funzione χ(x) è periodica. Ad esempio:

Per quanto stabilito:


Ciò è una conseguenza del fatto che i criteri di sommabilità esprimono condizioni sufficienti ma non necessarie. Nel caso particolare della sommabilità in un intervallo illimitato, si ha, ad esempio:


Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

Teorema


Dim.

Per fissare le idee, supponiamo X=(a,+oo). Procediamo per assurdo, negando la tesi:


dove










Segue (applicando la definizione di limite)


Dal momento che λ verifica la doppia disuguaglianza scritta più sopra


onde


Una volta fissato x1 > δλ', l'estremo superiore di integrazione x2 > x1 può essere preso ad arbitrio:


Ponendo


si ha

cosicché l'integrale a primo membro è maggiore di un qualunque numero reale positivo, ovvero


Cioè f non è sommabile in [x1,x2], onde per il criterio 3 segue che f non è sommabile in X, contraddicendo l'ipotesi.
c.d.d.



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