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[¯|¯] Una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di una funzione

Febbraio 21st, 2019 | by Marcello Colozzo |

sommabilità,integrabilità,condizione necessaria e sufficiente


Per quanto stabilito nei numeri precedenti, una funzione generalmente continua in un intervallo X (limitato o illimitato), si dice integrabile se è possibile determinare univocamente l'ente denominato integrale generalizzato


che sia in grado di inglobare la definizione di integrale definito. Si noti che











Nel caso particolare


diremo che f è sommabile in X. Ne consegue che la sommabilità di una funzione è una condizione più forte dell'integrabilità. Il seguente teorema esprime una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di una funzione:
Teorema


Dim.

La condizione è sufficiente
Dopo aver introdotto le solite funzioni non negative


prendiamo ad arbitrio

Segue

Dalle formule scritte più sopra

Per ipotesi f(x) è sommabile in X, per cui tali saranno le fk(x):


Segue


Cioè


Segue


essendo


Ma


onde l'asserto.

La sufficienza della condizione è lasciata per esercizio.



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