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[¯|¯] Funzione integrabile ma non sommabile

Febbraio 18th, 2019 | by Marcello Colozzo |

funzione integrabile,funzione sommabile,rettangoloide generalizzato
Fig. 1


Esercizio
Studiare l'integrabilità in [0,+oo) della seguente funzione


Soluzione
Risulta:


per cui


Più precisamente:









La funzione proposta è continua ed ha un'infinità numerabile di zeri, per cui cambia segno un numero infinito di volte. Il grafico è riportato in fig. 1 (si notino i punti angolosi di coordinate (n*π,0)). Intuitivamente, vediamo che il rettangoloide R1 è l'unione di una successione infinita di rettangoloidi di misura progressivamente crescente. Di contro, il rettangoloide R2 pur essendo l'unione di infiniti rettangoloidi, ha area nulla giacché i rettangoloidi componenti sono progressivamente schiacciati sull'asse x, per cui ci aspettiamo:


Ne concludiamo che la funzione assegnata è integrabile ma non sommabile in [0,+oo):



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