beylikdüzü eskort
Annunci AdSense






[¯|¯] Integrale generalizzato di una funzione di segno variabile

Febbraio 16th, 2019 | by Marcello Colozzo |

integrale generalizzato,funzioni di segno variabile
Fig. 1

La questione dell'integrabilità diviene più complicata se f non ha segno costante in X. In tal caso, conviene definire le funzioni:


entrambe non negative in X. Segue

che decompone univocamente una qualunque funzione f nelle due parti non negative f1,f2.








Evidentemente


Denotiamo con R1 e R2 i rettangoloidi generalizzati relativi a f1 e f2 e di base X:

Se R è il rettangoloide generalizzato relativo a f e di base X:


dove

cioè il simmetrico di R2 rispetto all'asse x. A titolo di esempio, consideriamo la funzione:


il cui grafico è riportato in fig. 1. Risulta

e

graficate nelle seguenti figure:

Osserviamo che passando da f(x) a f1(x) e f2(x), i punti di discontinuità possono cambiare
specie, o divenire punti di continuità per la funzione. Ad esempio, x=1 è punto di discontinuità di seconda specie per f, ma è di prima specie per f1. Il punto x=0 è di discontinuità di seconda specie per f, ma è punto di continuità per f2. Nel caso in esame, risulta


per cui


come illustrato in fig. 1. La
definizione suggerisce


giacchè


in quanto fk è non negativa. Ne consegue che la definizione precedente è applicabile solo nei casi in cui almeno uno degli integrali a secondo membro è < +oo. Infatti se

la predetta formula si presenta nella forma indeterminata oo-oo, per cui diviene priva di significato. Geometricamente significa che almeno uno dei rettangoloidi R1 e R2 deve avere area finita.



Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.



Tags: ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio