[¯|¯] La dinamica nonlineare del cancro

Febbraio 7th, 2019 | by Marcello Colozzo |

cancro,dinamica nonlineare,esponenziale,tempo caratteristico — **Fig. 1**

Sia Ω un organismo biologico. Nel paradigma del riduzionismo, Ω è un insieme di tessuti organici. Formalmente possiamo scrivere:

essendo ω_k il k-esimo tessuto componente. A sua volta, ω_k è costituito da N_k cellule, di cui una frazione macroscopica si moltiplica (incrementando N_k), mentre un'altra frazione muore. In altri termini, l'intero naturale N_k è una funzione del tempo. Denotando con y tale variabile, si ha:

cioè abbiamo una funzione reale della variabile reale "tempo", denotata con t. Si noti che y appartiene al campo reale R, mentre N_k=[y], ove [·] simboleggia la parte intera di un numero reale. Riguardo all'espressione analitica della funzione f(t), ci aspettiamo differenti leggi, e in linea di principio tale funzione può essere monotanamente crescente (crescita di ω_k) o monotonamente decrescente (decrescita di ω_k). In generale, f(t) può essere monotona solo localmente. Le differenti leggi che esprimono la dinamica di ω_k, possono essere inglobate in un'unica legge di tipo esponenziale, in cui l'argomento dell'esponenziale è modulato da un termine 1/τ_c(t). Precisamente:

dove y₀ è la popolazione di cellule ad un opportuno istante iniziale t₀=0. Si noti che se τ_c(t) si riduce a una costante τ₀, l'equazione precedente esprime una crescita esponenziale pura. La funzione τ_c(t) individua l'intervallo di tempo oltre il quale si ha una variazione apprezzabile della grandezza y(t). Per convincersene, è sufficiente considerare i casi estremi:

Nel primo caso, la popolazione di cellule è invariante per evoluzione temporale. In linea di principio ciò potrebbe rappresentare la morte di ω_k, giacché non c'è né creazione né distruzione di cellule (tutti i processi organici sono congelati). Nel secondo caso, invece, abbiamo una crescita esponenzialmente infinita, che un comportamento patologico non rappresentabile da una funzione in senso ordinario. È però evidente che τ_c(t) fissa la scala dei tempi di ω_k, giacché nel primo caso deve trascorrere un tempo infinito per osservare una variazione di y(t). Di contro, nel secondo caso la scala dei tempi è istantanea.
Definizione

La grandezza τ_c(t) è il tempo caratteristico del processo y(t) che caratterizza la proliferazione cellulare di ω_k.

La funzione y(t) è soluzione di una equazione differenziale del primo ordine non lineare

mentre la presenza di τ_c(t) nella predetta soluzione, suggerisce che tale grandezza è a sua volta soluzione di una qualche equazione differenziale non lineare. Tuttavia, possiamo congetturare che τ_c(t) sia in qualche modo correlata a un'altra grandezza con le dimensioni di una frequenza. Alcune particolarità di tipo biologico, suggeriscono che quest'ultima grandezza sia collegata alla frequenza cardiaca di Ω. Ad esempio, è stato congetturato che il ritmo cardiaco fissa la scala dei tempi di Ω. Un esempio clamoroso è dato dalla tartaruga, la cui longevità sarebbe una conseguenza della bassa frequenza cardiaca (6 battiti al minuto). Da un punto di vistga formale, possiamo scrivere:

dove g è una funzione monotonamente crescente, mentre ν_c(t) è la frequenza cardiaca di Ω, che è data, a meno di un noise, da un termine mediato nel tempo: