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[¯|¯] Strange loops e il Teorema di Gödel

Gennaio 29th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1.

In precedenza, abbiamo esaminato come Douglas Hoftsdater nel suo libro introduce la nozione di strano anello, attraverso metafore che richiamano le fughe di Bach e le litografie di Escher. Il lettore attento avrà sicuramente percepito l'esistenza di un substrato matematico in tali argomentazioni. Incidentalmente, i paradossi che nascono dalle distorsioni percettive delle predette litografie, altro non sono che un contrasto tra finito e infinito. Le contraddizioni assumono connotati più definiti nel paradigma del linguaggio convenzionale, nel momento in cui si formulano asserzioni autoreferenziali. Un esempio molto noto è il paradosso del mentitore; una asserzione del tipo

Questo enunciato è falso (1)

conduce a una evidente contraddizione, giacchè l'enunciato è vero se e solo è falso. L'unica conclusione ammissibile è: l'enunciato (1) non né vero né falso. Diremo, dunque, che è indecidibile.








Ne consegue che all'interno del linguaggio convenzionale, esistono enunciati che non sono né veri né falsi.

L'enunciato (1) è manifestamente uno strange loop ad una componente. Kurt Gödel riuscì a portare questo tipo di argomentazioni all'interno della logica matematica, dimostrando il famoso Teorema di Incompletezza, secondo cui in un qualunque sistema formale esistono proposizioni indecidibili, ossia che non possono essere né dimostrate né confutate. Ciò implica che ogni sistema formale è incompleto. Un'obiezione banale potrebbe essere la seguente: se P è una proposizione indecidibile nel sistema formale S, possiamo trovare un sistema formale S' contenente S e tale che P sia non indecidibile in S. Tuttavia, per lo stesso teorema esiste in S' almeno una proposizione P' indecidibile.

Per ora ci fermiamo qui. L'importante è aver compreso il legame tra gli strange loops e il teorema di Gödel. Ciò ci permetterà di comprendere il libro di Hoftsdater, soprattutto quando introduce le cosiddette gerarchie aggrovigliate.


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