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[¯|¯] Momento d'inerzia di una curva materiale

Gennaio 13th, 2019 | by Marcello Colozzo |

momento d'inerzia,curva materiale omogenea,densità,flaccavento
Fig. 1.


Esercizio n.10, pag. 80 del Flaccavento
Calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse z della curva ? di equazioni parametriche:


plottata in fig. 1


Soluzione

Dal corso di Meccanica Razionale sappiamo che il momento di inerzia di un corpo C di densità ρ(x,y,z) rispetto a un asse (o a un piano o a un punto) è:

dove D è la regione dello spazio tridimensionale occupata dal corpo, mentre r(x,y,z) è la distanza del generico punto (x,y,z)appartenente a D e l'ente geometrico (asse, piano, punto) rispetto al quale si calcola il momento d'inerzia. Per una curva materiale la funzione ρ(x,y,z) è la densità lineare, e nel caso in esame si assume tacitamente


ovvero si considera una curva omogenea di densità unitaria (nelle appropriate unità di misura). Si richiede il momento di inerzia rispetto all'asse z, onde

Segue










È facile persuadersi che l'elemento di misura diviene l'elemento d'arco ds, giacché dobbiamo integrare gli infiniti contributi provienienti da ρds. Ricordiamo che


Cioè


Quindi


Conclusione



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