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[¯|¯] Cosa succede se l'auto di Alice viaggia alla stessa velocità del proiettile sparato da Bob?

Gennaio 8th, 2019 | by Marcello Colozzo |

proiettile,sistema di riferimento inerziale,trasformazioni galileiane
.

Cerchiamo di rendere più quantitative le conclusioni a cui siamo giunti nel post precedente.
Abbiamo stabilito le trsformazioni galileiane (TG, da qui in poi) che connettono il sistema di riferimento inerziale di Bob con il sistema di riferimento inerziale di Alice (quest'ultima è a bordo di un'auto che si muove di moto rettilineo uniforme a velocità V).










Anziché considerare un secondo sistema di assi cartesiani x'-ct', rimaniamo in x-ct, tracciando ivi gli assi ct' e x' come rette del predetto piano. L'asse ct' è il luogo geometrico dei punti con x'=0. Dalla seconda delle TG

che è una retta per l'origine e coefficiente angolare c/V. A sua volta, l'asse x' è il luogo geometrico dei punti con ct'=0, e dalla prima delle TG si ha:


ovvero l'asse x. Abbiamo, dunque, la configurazioni di assi illustrata in figura:

proiettile,sistema di riferimento inerziale,trasformazioni galileiane
L'asse ct' tracciato nel piano cartesiano x-ct..


La linea di universo del proiettile nell'intervallo di tempo [0,t1=d/v] ha equazione:

che è un segmento della retta per l'origine e coefficiente angolare c/v. Senza perdita di generalità, assumiamo 0 < V < v, per cui


onde la predetta linea di universo è meno inclinata rispetto all'asse x, come vediamo dalla figura:

proiettile,sistema di riferimento inerziale,trasformazioni galileiane
Diagramma spazio-temporale del proiettile rispetto ad entrambi i sistemi inerziali K (Bob) e K' (Alice). Rispetto a quest'ultima, il proiettile percorre la distanza d' < d, prima di conficcarsi nel bersaglio. .


Inoltre:

risultato ottenibile per via grafica (fig. precedente).

Tale conclusione è ovvia perchè rispetto ad Alice il proiettile si muove con una velocità minore: infatti è v'=v-V < v. Ne consegue che Alice e Bob non sono d'accordo sullo spazio percorso dal proiettile. In particolare

Cioè, se l'auto di Alice viaggia alla stessa velocità del proiettile (situazione non realistica, ma concettualmente interessante), la distanza percorsa da quest'ultimo è nulla per la semplice ragione che è fermo rispetto ad Alice medesima. Ancora una volta, il risultato è graficamente visibile nella figura seguente:

proiettile,sistema di riferimento inerziale,trasformazioni galileiane
Per v=V, la distanza percorsa dal proiettile rispetto ad Alice, è nulla. Infatti, la linea di universo del proiettile è sovrapposta all'asse ct', per cui Alice vedrà il proiettile sempre nella stessa posizione (x'=0)..



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