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[¯|¯] Il problema della cerbottana

Gennaio 4th, 2019 | by Marcello Colozzo |

cerbottana,moto di proiettili,caduta libera,gravità
Fig. 1.


Esercizio
Una cerbottana è puntata verso un bersaglio B, che nell'istante in cui viene sparato il proiettile, è lasciato in caduta libera (fig. 1).
Mostrare che il proiettile colpisce il bersaglio, qualunque sia la sua posizione iniziale, a patto che la cerbottana sia orientata verso B e che il proiettile venga sparato siimultaneamente alla caduta libera di B.
Trascurare la resistenza dell'aria).


Soluzione

Osserviamo innanzitutto che il moto del proiettile e il moto del bersaglio sono entrambi regolati dalla stessa equazione differenziale:

dove r è il vettore posizione di singolo punto materiale, mentre g è l'accelerazione di gravità.
Istituendo un sistema di assi coordinati come in fig. 1, si ha che in generale è r=xi+yj, g=-gj , essendo i e j i versori degli assi coordinati. Ciò che cambia sono le condizioni iniziali dei corpi in movimento. Più precisamente, risultano impostanti i seguenti problemi di Cauchy:

La cerbottana è orientata verso B se e solo se i vettori v0 e r0B sono paralleli e concordi:

o ciò che è lo stesso, le coordinate polari del bersaglio nell'istante iniziale τ, sono r0Bs e l'angolo di lancio θ. Risolvendo i predetti problemi di Cauchy, si trova:











Il proiettile colpisce il bersaglio nell'istante soluzione dell'equazione vettoriale:


Cioè il parametro λ precedentemente definito è l'istante richiesto:

Dal momento che il termine (1/2)gt² si cancella dall'equazione risolutiva, si ha che la gravità non svolge alcun ruolo sulla dinamica del problema. Infatti, se il campo gravitazionale venisse "spento", il bersaglio resterebbe fermo in B, mentre il proiettile si muoverebbe di moto rettilineo ed uniforme verso B, impiegando il tempo τ per colpire il bersaglio.



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