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[¯|¯] Le statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein)

Dicembre 23rd, 2018 | by Marcello Colozzo |

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Introduzione

Consideriamo un gas perfetto ovvero un sistema di N particellle identiche non interagenti. Se la temperatura di equilibrio termodinamico non è "molto bassa", il sistema è governato dalla statistica di Boltzmann che come è noto, riproduce i risultati della termodinamica. Diversamente, se raffreddiamo il sistema a temperature prossime allo zero assoluto o comunque minore di una temperatura critica che caratterizza il sistema medesimo, la statistica di Boltzmannn è inapplicabile a causa di effetti quantistici dovuti alla "identità" delle particelle che compongono il gas.








Più precisamente, bisogna tener conto del momento angolare di spin di singola particella. Infatti, ricordiamo che le particelle si dividono nelle due grandi famiglie: i fermioni e i bosoni.

  1. Fermioni: particelle di spin semi-intero, quindi descritte da funzioni d'onda antisimmetriche, in virtù del noto postulato di simmetrizzazione della meccanica quantistica.
  2. Bosoni: particelle di spin ntero, quindi descritte da funzioni d'onda simmetriche.

La statistica di Fermi-Dirac

Sia dato un sistema di N fermioni in equilibrio alla temperatura T. Denotando con H(i) l'operatore hamiltoniano della particella i-esima e, qu indi, di singola particella giacché stiamo considerando particelle identiche e non interagenti, abbiamo la seguente equazione agli autovalori:


dove |εi;j> è autostato dell'energia con autovalore εi, mentre l'indice j

essendo gεi il grado di degenerazione del livello εi. I fermioni obbediscono al Principio di esclusione di Pauli, per cui il numero di occupazione del livello εi è

Cioè in ogni stato εi troviamo 0 particelle o 1 particella. La distribuzione di Fermi-Dirac restituisce il numero medio di particelle che occupano lo stato εi:

dove µ è il potenziale chimico, mentre kB è la costante di Boltzmann. Per determinare il numero medio di particelle con energia εi, dobbiamo tener conto del grado di degenerazione del predetto livello, per cui



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Le distribuzioni ottenute sono normalizzate su N:

dove ε0 è l'energia dllo stato fondamentale (di singola particella), mentre εmax è l'energia del più alto livello eccitato. Segue


che definisce implicitamente la funzione µ(T,N).

La statistica di Bose-Einstein

I bosoni non obbediscono al principio di esclusione di Pauli. Ne consegue che il numero di occupazione dello stato di singola particella è


Il numero medio è dato dalla distribuzione di Bose-Einstein:

mentre il numero medio di particelle con energia εi, è:

Il numero totale di particelle

Concludiamo questo numero osservando che per entrambe le statistiche si ha:


dove va preso il segno (+) per la distribuzione di Fermi-Dirac, e il segno (-) per la distribuzione di Bose-Einstein.

L'approssimazione di spettro continuo

La circostanza N»1 (abbiamo un sistema macroscopico) implica uno spettro degli autovalori dell'energia estremamente denso, poiché


che ci consente di approssimare lo spettro discreto a uno spettro continuo:


In tale approssimazione, il grado di degenerazione diviene una funzione di ε:

dove g(ε)dε=dn, cioè il numero infinitesimo di stati di energia in [ε,ε+dε], per cui


è la densità degli stati, ossia il numero di stati per intervallo unitario di energia. Segue

D'altra parte

onde


Procedendo in modo simile per l'energia totale del gas, si perviene


e in approssimazione di spettro continuo:



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