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[¯|¯] Un possibile modello di fusione fredda

Dicembre 21st, 2018 | by Marcello Colozzo |

fusione fredda, potenziale coulombiano,equazione di schrödinger
.

Più che un modello si tratta di considerazioni basate sulla Meccanica Quantistica (non relativistica, in virtù delle basse velocità in gioco), giacché nulla ci impedisce di studiare un sistema costituito da due protoni.








Abbiamo, dunque, un sistema di due particelle di spin 1/2 che interagiscono tramite un potenziale coulombiano repulsivo. La dipendenza di tale potenziale dalla sola distanza tra i due protoni, suggerisce di passare al sistema di riferimento del centro di massa e della coordinata relativa. In tal modo il problema equivale a quello di una particella di massa ridotta

ove mp è la massa del protone. Ne consegue che abbiamo una particella di massa µ e di carica elettrica +e, che "si muove" nel campo di energia potenziale a simmetria sferica:


il cui andamento è riportato in fig.

Un assegnato valore E>0 dell'energia della particella di massa ridotta µ, determina univocamente la regione classicamente accessibile:

essendo r1=e²/E. In parole povere, classicamente la particella potrà muoversi solo nella regione r>=r1. Per espandere tale regione ovvero per avvicinare la particella all'origine (dove, in realtà, è posizionato uno dei protoni) è necessario un valore maggiore dell'energia E. Ed è facile convincersi che per avere r1=0, dovrà essere E->+oo.

Tutto questo classicamente. Secondo la meccanica quantistica, invece, la particella ha una probabilità finita di attraversare la barriera di potenziale. Si noti che tale barriera ha un'altezza infinita, ma il suo "spessore" tende a zero per V->+oo.

Abbiamo, quindi, un tipico problema di attraversamento (tunneling) di una barriera di potenziale con l'andamento dato dalla formula vista più sopra. Per calcolare la probabilità di attraversamento, dobbiamo ovviamente risolvere lo spettro dell'operatore hamiltoniano del predetto sistema quantistico, i.e. risolvere un'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo. Come è noto, in presenza di un potenziale centrale e trascurando i gradi di libertà di spin, le autofunzioni si fattorizzano nel prodotto di una parte radiale per una parte angolare, ove quest'ultima è data dalle armoniche sferiche quali autofunzioni del momento angolare orbitale. Quindi, la più generale autofunzione dell'energia è con ovvio significato dei simboli:

La parte angolare è indipendente dalla particolare espressione analitica del potenziale, mentre la parte radiale scritta come


soddisfa l'equazione differenziale


dove abbiamo introdotto il potenziale efficace:

È chiaro che la probabilità di attraversamento della barriera è una funzione monotonamente crescente dell'autovalore dell'energia (stiamo considerando il caso speciale in cui la particella è in un autostato dell'energia). Se questa è determinata termicamente (si pensi ad un plasma stellare), si ha:

dove T è la temperatura di equilibrio termodinamico, mentre kB è la costante di Boltzmann. Nel caso di un plasma stellare, a causa dell'elevata temperatura, ci aspettiamo


dove ε è un valore caratteristico, per cui la barriera si assottiglia e la corrispondente probabilità non sarà trascurabile:

La probabilità di attraversamento altro non è che la probabilità di realizzazione della reazione di fusione termonucleare


Diversamente, in un solido (ad. esempio, metallo) a temperatura ambiente l'energia ha valori

per cui la probabilità di attraversamento è approssimativamente nulla. Tuttavia, esistono alcuni metalli rari con i quali è possibile realizzare celle elettrolitiche, che darebbero la possibilità ai due protoni di "avvicinarsi" e, quindi, realizzare il processo di fusione. In una tale configurazione, è ovviamente impossibile considerare un potenziale coulombiano "puro" a causa delle interazioni con le altre particelle. Un primo tentativo di spiegazione del processo consiste nell'ipotizzare la presenza di un qualche meccanismo in grado di modulare il potenziale V(r) modificandone l'andamento. Ad esempio:

Bisogna poi imporre l=0, in modo da non far comparire il potenziale efficace, a causa della presenza di r^(-2) che distruggerebbe le considerazioni che seguono. Il processo ha una probabilità finita di realizzazione a temperatura ambiente, se e solo se il predetto meccanismo riesce ad "assottigliare" la barriera di potenziale. Ad esempio, per ß=0.3 troviamo l'andamento riportato in fig.

Per quanto precede, la particella dovrà trovarsi in un autostato del momento angolare con l=0. Ricordiamo che tale autovalore si riferisce a L², ovvero al modulo quadro del momento angolare quale operatore autoaggiunto nell'appropriato spazio di Hilbert. Solo in questo modo è possibile liberarsi dal potenziale centrifugo


Non è possibile integrare in forma chiusa l'equazione di Schrödinger per un potenziale V1(r), ma ciò non impedisce di ricercare soluzioni per via numerica, in modo da poter determinare la probabilità di attraversamento e quindi, la probabilità di realizzazione del processo di fusione. Un'integrazione numerica eseguita con Mathematica, restituisce il grafico nella fig. in miniatura al top di questa pagina.



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