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[¯|¯] È possibile spostare una cassa più pesante del proprio peso?

Novembre 25th, 2018 | by Marcello Colozzo |

scarpe,coefficiente di attrito statico,coefficiente di attrito dinamico
.


Esercizio
Che tipo di scarpe (in termini di attrito statico) dovrebbe indossare un operaio per trascinare una cassa più pesante del peso dell'operaio medesimo?
Soluzione
Fissiamo innanzitutto la simbologia:

  • M massa inerziale della cassa;
  • m massa inerziale dell'operaio. Per ipotesi è m < M;
  • µs coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pavimento.
  • µ's coefficiente di attrito statico tra le suole delle scarpe dell'operaio e il pavimento.










Ciò premesso, le forze agenti sulla cassa sono:

  1. F (forza applicata dall'operaio);
  2. P=Mg (peso della cassa);
  3. RN=-P (reazione vincolare normale);
  4. RT reazione vincolare tangenziale (forza di attrito statico).

Il diagramma delle forze è riportato in figura:

scarpe,coefficiente di attrito statico,coefficiente di attrito dinamico

Risulta:

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Se
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non si verifica il distacco della cassa. Infatti, la condizione di distacco è:
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Per il terzo principio della dinamica, se l'operaio applica una forza F sulla cassa, quest'ultima applica una forza -F sull'operaio. Ne consegue che sull'operaio le forze agenti sono:

  1. -F (forza applicata dalla cassa);
  2. P'=mg (peso dell'operaio);
  3. R'N=-P' (reazione vincolare normale);
  4. R'T reazione vincolare tangenziale (forza di attrito statico).

Il diagramma delle forze è riportato in figura:

scarpe,coefficiente di attrito statico,coefficiente di attrito dinamico

La cassa si sposta se e solo se l'operaio non si distacca dal pavimento, cioè se e solo se

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Tenendo conto dell'equazione, si ha
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In particolare, se il coefficiente di attrito statico tra le suole e il pavimento è lo stesso del coefficiente di attrito tra cassa e pavimento, la cassa non si sposta. Peraltro, la condizione precedente non è sufficiente per risolvere il problema, giacché dobbiamo imporre µ's < 1. Quindi

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Più precisamente
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Tale doppia disuguaglianza determina univocamente l'insieme dei possibili valori di M affinché sia possibile il distacco. In altri termini, per assegnati valori di m e µs, il valore di M dovrà verificare la predetta limitazione. Nel caso contrario:

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Per un assegnato valore

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l'insieme dei valori possibili per µ's che risolvono il problema, è:
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La presenza del rapporto M/m suggerisce di definire la seguente variabile adimensionale:

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Segue
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Riportando su un sistema di assi cartesiani in ascissa la variabile ? e in ordinate µ's

scarpe,coefficiente di attrito statico,coefficiente di attrito dinamico

si ha che l'insieme soluzione è

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Per un assegnato

scarpe,coefficiente di attrito statico,coefficiente di attrito dinamico

il corrispondente valore di μ's deve appartenere all'intervallo

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affinché si verifichi il distacco della cassa.


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