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[¯|¯] La fune ideale è la "fune di Dirac"

Novembre 20th, 2018 | by Marcello Colozzo |

forza esercitata da una fune,tensione,fune inestensibile,fune ideale

Per il lettore che conosce il formalismo della funzione delta di Dirac le formule trovate in precedenza sono suscettibili di una ulteriore generalizzazione. A tale scopo, poniamo l'origine dell'asse x nel punto medio del segmento che schematizza la fune, come indicato in figura:

In tal modo l'estremo vincolato è x=-l/2, mentre l'estremo libero è x=l/2, ed è questo il punto di applicazione della forza di trazione F. Suddividiamo il segmento rappresentato dall'intervallo [-l/2,l/2] in N parti di uguale lunghezza, prendendo i punti di ascissa::











La lunghezza di ogni segmento è l'ampiezza del generico intervallo [xk,xk+1]:

Presi ad arbitrio due segmenti adiacenti [xk-1,xk] e [xk,xk+1], come illustrato in figura:

il tratto [xk,xk+1] esercita una forza di trazionie sul tratto [xk-1,xk]. Tale trazione può essere schematizzata attraverso una forza τ(xk}) applicata nel punto di ascissa xk. Definiamo:


Passando ai moduli:

È chiaro che la tensione esercitata dall'intera fune è

ove τ(x) è la densità di tensione, i.e. la tensione per unità di lunghezza. Segue

Cioè la tensione esercitata dalla corda viene a dipendere da x. Incidentalmente, l'integrale scritto più sopra è la tensione calcolata in x=l/2. Di contro, una fune ideale sviluppa una tensione costante. Matematicamente, ciò equivale ad assumere


dove d(x-xk) è la funzione delta di Dirac centrata in xk. Ridifinendo l'integrale

onde

Si noti che Tk ha (ovviamente!) le dimensioni di una tensione (quindi di una forza). Infatti la delta di Dirac ha le dimensione dell'inverso del suo argomento, i.e. dell'inverso di una lunghezza per cui moltiplicando per Tk otteniamo una tensione per unità di lunghezza. In tal modo la funzione densità τN(x) è deltiforme; più precisamente è un pettine di Dirac di ordine N. Esprimendo in termini di Δ, con ovvio significato dei simboli


ed eseguendo il limite per Δ->0:

cioè un pettine di Dirac infinitamente denso.



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