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[¯|¯] Forza esercitata da una fune. Il concetto di tensione

Novembre 19th, 2018 | by Marcello Colozzo |

forza esercitata da una fune,tensione,fune inestensibile,fune ideale

Molti problemi di dinamica coinvolgono corpi collegati a carrucole tramite funi. In varie occasioni abbiamo introdotto la nozione di fune inestensibile e di massa trascurabile. In questa lezione cercheremo di rendere più quantitativi tali concetti. In figura

una cassa di massa m è appoggiata su un pavimento privo di attrito. Un operaio trascina la cassa mediante una fune. Sia F la forza applicata dall'operaio al sistema cassa+fune. Denotando con mfune la massa inerziale di quest'ultima ed invocando il secondo principio della dinamica, si ha:


essendo a l'accelerazione conseguente. Si noti che F non è applicata alla cassa ma all'intero sistema cassa+fune. La forza che agisce sulla cassa è quella esercitata dalla fune:











Definizione
La forza esercitata dalla fune si dice tensione.
Orientando un asse x come nella figura precedente:


Se la fune ha una massa nulla o comunque trascurabile rispetto a m, dal sistema precedente segue:


L'assunto

esprime una condizione ideale, e solo in tal caso è F=T. Un'altra condizione che deve essere verificata è l'assenza di allungamenti, per cui una fune ideale ha massa nulla ed è inestensibile. Per chiarire quest'ultimo concetto, aggiungiamo allo schema precedente una seconda cassa:


Le forze agenti sulla prima cassa:


Per il secondo principio della dinamica:

dove a1 è l'accelerazione della prima cassa. L'unica forza che agisce sulla cassa di massa m2 è la tensione T2 esercitata dalla fune 2, onde


essendo a2 l'accelerazione di m2. Eliminando T2 tra le appropriate equazioni

Le due casse hanno accelerazioni diverse, a causa dell'eventuale allungamento della fune 2. Nel caso contrario, cioè se la fune non subisce allungamenti, dovrà essere a1=a2=a, per cui


Applicando il secondo principio della dinamica all'intero sistema:

Se le funi hanno massa nulla:

Quindi


Per comprendere l'origine della tensione, supponiamo di avere una fune di lunghezza l con uno dei due capi liberi, mentre l'altro è vincolato:


Il capo libero è sottoposto a una forza di trazione F parallela all'asse della fune tesa. Assumendo un asse x orientato come in figura, eseguiamo una partizione dell'intervallo [0,l], prendendo i seguenti punti equidistanti:


cosicché


Il tratto di fune corrispondente all'intervallo [xk,xk+1] esercita una forza di trazione sull'elemento adiacente corrispondente a [xk-1,xk], che è parallela e concorde al F, e di modulo che può essere scritto come:


Sommando su tutti gli elementi


Posto


ed eseguendo l'operazione di passaggio al limite per Δ->0


che è la tensione esercita dalla fune sul vincolo in x=0. La funzione φ(x) è la tensione per unità di lunghezza.



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