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[¯|¯] Masse variabili di cui una è su un piano inclinato.

Novembre 17th, 2018 | by Marcello Colozzo |

piano inclinato,attrito dinamico,carrucola,filo inestensibile
Fig. 1

Esercizio
Si studi il sistema meccanico dell'esercizio precedente, assumendo variabile il rapporto tra le due masse m/M nell'intervallo [0,+oo).
Soluzione
L'accelerazione del sistema è

dove α=π/4,µ=0.5, mentre le masse m ed M sono assunte variabili. Precisamente, definiamo la variabile reale adimensionale e non negativa:










Adimensionalizziamo il problema defininendo la seguente funzione reale della variabile reale ξ:


In altri termini, la predetta funzione altro non è che l'accelerazione del sistema in unità g. Risulta

Insieme di definizione
La funzione è definita in R-{-1}, ma a noi interessa la sua restrizione a X=[0,+oo).
Intersezione con gli assi coordinati
Asse ξ:

Il grafico di f(ξ) interseca l'asse delle ascisse nel punto (ξ0,0). Interpretazione fisica:

Cioè se m=[sqrt(2)/4)]*M il sistema è in equilibrio (a=0). Per essere più precisi, se inizialmente la velocità è nulla, il sistema peresevera nello stato di quiete (equilibrio statico).
Asse η:


Quindi il grafico di f(ξ) interseca l'asse delle ordinate nel punto (0,η0). Interpretazione fisica:

Cioè se non c'è nessuna massa m collegata alla carrucola, la massa M scivola sul piano inclinato con accelerazione in modulo pari sqrt(2)/4 volte l'accelerazione di gravità.
Segno della funzione



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Interpretazione fisica:


Osservazione
L'inversione del moto (cioè M sale ed m scende) non avviene per m > M,ma per un valore più basso.
Comportamento all'infinito. Ricerca di asintoti

Cioè la retta η=-1 è asintoto orizzontale a destra. Interpretazione fisica:

Significa uno dei seguenti casi:

I casi più significativi sono 1 e 2. Da un punto di vista fisico entrambi implicano m » M. Inoltre:


Cioè se la massa M è trascurabilmente piccola rispetto alla massa m, quest'ultima è in caduta libera (e la tensione del filo è nulla).
Monotonia della funzione
La derivata prima è

onde la funzione è strettamente decrescente.
Concavità - Punti di flesso
La derivata seconda è

onde il grafico della funzione è concavo. Pertanto è privo di punti di flesso.
Tracciamento del grafico
Ora abbiamo tutti gli ingredienti per tracciare il grafico:



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