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[¯|¯] Il barcaiolo matematico e le equazioni differenziali (parte 1)

novembre 3rd, 2018 | by Marcello Colozzo |

barcaiolo,matematico,equazioni differenziali


Esercizio
Una barca priva di propulsione parte da un punto della sponda di un fiume, diretta sulla sponda opposta (distante d) con velocità costante (v0), come illustrato in figura:
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dove è istituito un riferimento cartesiano ortogonale con l'origine nel punto di partenza della barca, e asse x coincidente con la sponda di partenza. Nel fiume è attiva una corrente che esercita una forza
F sulla barca, rappresentata dalla seguente funzione vettoriale:
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essendo i il versore dell'asse x. Si determini l'equazione della traiettoria della barca, nonché le coordinate cartesiane del punto Q in cui la barca raggiunge la sponda opposta e il tempo impiegato, nel caso di forza costante: Fx(y)=F0.

Soluzione

Il riferimento cartesiano suggerito dal testo dell'esercizio è manifestamente un sistema di riferimento inerziale. La funzione vettoriale data dal testo dell'esercizio è definita nella striscia di piano individuata dalla regione:

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Denotando con r=xi+yi il vettore posizione della barca, per il secondo principio della dinamica si ha:

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essendo m la massa della barca. Tale equazione vettoriale è equivalente a

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che è un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine nelle funzioni incognite x(t),y(t). Le condizioni iniziali sono:

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La seconda equazione differenziale del precedente sistema si integra immediatamente:

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dove C1,C2 sono costanti di integrazione. Dalle condizioni iniziale segue

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onde

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Questo risultato è consistente perché il campo di forze ha componente nulla nella direzione dell'asse y, per cui il moto componente secondo tale direzione, avviene a velocità costante. Sostituendo la soluzione trovata nella prima equazione, si ha:

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dove
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Dal momento che

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abbiamo

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con K1 costante di integrazione. Integrando nuovamente abbiamo l'integrale generale:

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Applicando le condizioni iniziali, si ottiene:
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da cui le equazioni orarie del moto:

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Tali equazioni costituiscono una rappresentazione parametrica della traiettoria. Eliminando il parametro t, otteniamo:

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che è l'equazione di un arco di parabola con vertice nell'origine e per asse l'asse x. Il punto di approdo è l'intersezione Q della parabola con la retta r:y=d, onde

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Pertanto
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come illustrato nella figura al top.



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