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[¯|¯] Rette caratteristiche dell'equazione della corda vibrante

ottobre 18th, 2018 | by Marcello Colozzo |

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,rette caratteristiche
Fig. 1

Riscriviamo la soluzione di D'Alembert nella forma stabilita nei post precedenti link 1 e link 2

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Si tratta ovviamente di due funzioni reali delle variabili reali x,t definite su tutto R².








Consideriamo, quindi, il piano cartesiano (Oxt), prendendo ad arbitrio il punto P0(x0,t0) per poi determinare il valore ivi assunto dalle predette funzioni. Cioè

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e

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da cui vediamo che uP0 è la media artimetica dei valori assunti dal campo scalare φ(x) nei punti dell'asse x di ascissa x0-ct e x0-ct, rispettivamente. Prendiamo ora le rette:

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La retta r0 interseca l'asse x nel punto x0-ct0, mentre l'intersezione di r'0 con l'asse x è 0+ct0, come illustrato in figura:

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Inoltre, le due rette si intersecano nel punto P0. DAll'altra formula segue, invece, che il valore assunto da u&pshi; in P0 è l'integrale esteso da x0-ct0 a x0+ct0 della funzione &pshi;(x), diviso per 2c.
Dall'arbitrarietà del punto P0 segue l'esistenza di due fasci di rette parallele:

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Per quanto precede
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tale che (r0,r'0) trasporta l'informazione contenuta nei dati iniziali, giacché le funzioni φ(x) e ψ(x) individuano tali dati.
Definizione
Le rette
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si dicono
rette caratteristiche dell'equazione differenziale
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Concludiamo questo numero, riportando i grafici delle funzioni uφ(x,t),uψ(x,t) e uφ(x,t)+uψ(x,t) nelle figure seguenti

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