Annunci AdSense






[¯|¯] Battendo (senza pizzicare) una corda infinitamente estesa

ottobre 17th, 2018 | by Marcello Colozzo |

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert
Fig. 1

Abbiamo esaminato il caso 1. Passiamo ora alla corda (infinitamente estesa) e battuta, per cui inizialmente si trova nella configurazione di equilibrio, mentre il campo scalare della velocità iniziale è una assegnata funzione ψ(x). Quindi definiamo:

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert










La soluzione del problema di Cauchy assegnato, si scrive:

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

che è ancora una sovrapposizione di due onde piane che si propagano a velocità c in versi opposti. Nell'istante t=0 tali onde interferiscono distruttivamente, cancellandosi a vicenda:

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

come appunto deve essere, giacché la corda è inizialmente in equilibrio. Ad esempio, se il campo di velocità iniziale è una gaussiana:

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

si ha

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

essendo erf(x) la funzione degli errori. In fig. 1 sono plottati gli andamenti delle varie grandezze, nonché la u(x,0) da cui vediamo che è identicamente nulla.



Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.


L'evoluzione dinamica della corda battuta con il campo di velocità assegnato, è
equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

Per t=t1=8s presenta l'andamento riportato in figura:

equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

Ciò non si verifica solo per una campo gaussiano come quello appena visto, ma è una proprietà generale a patto che la distribuzione sia sufficientemente piccata. Più precisamente, dato un campo di velocità iniziale ψ(x) sufficientemente piccato intorno a x=0 (o a un punto x0), si ha:
equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

per cui
equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

Cioè per x»1 la funzione ?(x) è approssimativamente costante. Ne consegue
equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

onde lo spostamento a regime
equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert

che è una costante. In altri termini, la corda tende a traslare nell'istante in cui le onde componenti sono sufficientemente lontane.



Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.



No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: , ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio