Annunci AdSense






[¯|¯] La definizione di spazio metrico

settembre 19th, 2018 | by Marco Giancola |

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

Si definisce spazio metrico un insieme X sul quale è definita una funzione

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

denominata distanza o metrica, che gode delle seguenti proprietà:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

La metrica più nota è quella definita su uno spazio vettoriale normato, ossia uno spazio vettoriale dotato di norma ||.||, mediante la formula:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

Se lo spazio vettoriale è Rn e || || è la norma euclidea, la precedente formula diventa:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

e ci fornisce la distanza euclidea tra due punti x e y di Rn ovvero la lunghezza del segmento che li unisce. Questa è indubbiamente la distanza più comune, quella nota a tutti, anche ai non matematici. Ma in matematica esistono infinite metriche, alcune delle quali apparentemente “strambe”. Vediamone qualcuna.
Consideriamo un insieme arbitrario X e poniamo:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

con x,y appartenenti a X. Tale funzione prende il nome di metrica discreta e, anche se può sembrare assurdo (ogni elemento di X dista 1 da tutti gli altri), è effettivamente una distanza. Per dimostrarlo basta dimostrare che d(x, y) soddisfa tutte e quattro le proprietà che definiscono una metrica. Le prime tre si verificano immediatamente; per provare che vale anche la disuguaglianza triangolare, basta considerare i casi possibili:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza










La norma euclidea è un caso particolare della più generale norma p:
spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

con p appartenente all'intervallo illimitato [1, +oo). Quando p = 2, tale norma coincide con quella euclidea. Per p = oo invece, essa si definisce tramite quest’altra formula:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

Mediante questa norma possiamo definire su Rn una metrica che generalizza quella euclidea:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

Una metrica simile alla precedente è quella utilizzata nello spazio Lp (p >= 1) per determinare la distanza tra due funzioni distinte:

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

essendo X il dominio delle funzioni f,g.

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: , , ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio