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[¯|¯] Dalle esercitazioni di Meccanica Quantistica. La notazione di Dirac

luglio 23rd, 2018 | by Marcello Colozzo |

notazione di Dirac,vettori ket,vettori bra,spazio di hilbert

Vettori ket e vettori bra

A un sistema quantistico associamo uno spazio di Hilbert H. Come sappiamo, un tale spazio è caratterizzato da un prodotto interno (o prodotto scalare):

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Dirac non fa altro che prendere la parentesi (bracket) <α|ß> e "spezzarla":

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definendo

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dove H* è lo spazio duale di H. Il fatto di usare le lettere α,ß è ininfluente: ciò che conta sono i simboli |·> e <·|, nel cui interno possiamo mettere "qualunque cosa". Ad ogni vettore ket possiamo associare univocamente il suo bra duale:
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dove CD significa "corrispondenza duale". Segue la proposizione, di cui omettiamo la dimostrazione:
Proposizione

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Osservabili ed operatori hermitiani

In meccanica quantistica grandezze fisiche del tipo energia, impulso, momento angolare, etc. si dicono osservabili, in quanto i loro valori dipendono dal procedimento di misura. A loro volta, le osservabili sono rappresentate da operatori hermitiani nel corrispondente spazio di Hilbert. In generale, un operatore lineare è così definito:

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essendo D(A) il dominio di definizione di A. Segue

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dove sto facendo il prodotto scalare tra il ket |ß> e il bra <α|A, o ciò che è lo stesso tra il ket A|ß> e il bra <α|. Siccome le due grandezze sono uguali, scriviamo senza ambiguità:
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Dalla proprietà

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segue quest'altra

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dove compare un nuovo operatore che si dice aggiunto o hermitiano coniugato dell'operatore assegnato.

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