Annunci AdSense






[¯|¯] Autovelox portatile (ad ultrasuoni)

luglio 18th, 2018 | by Marcello Colozzo |

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Un trasmettitore T emette ultrasuoni sotto forma di pacchetti d'onda piana longitudinale. Assumiamo come sistema di riferimento una terna di assi cartesiani con origine in T e asse x orientato verso un bersaglio B, che per ora consideriamo fermo rispetto al predetto sistema di riferimento, come illustrato nella seguente figura:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler
Le coordinate del punto del bersaglio B in cui vengono riflessi i pacchetti d'onda sono (r,0,0).

La funzione d'onda di singolo pacchetto può essere scritta come

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

dove k è il vettore di propagazione:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

essendo λ la lunghezza d'onda e n il versore della direzione orientata di propagazione. Per come abbiamo scelto il sistema di riferimento:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

onde
autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

La grandezza ω(k) è, invece, la pulsazione in funzione del numero d'onde k=|k|. Come è noto dalla teoria della propagazione ondosa, tale funzione descrive il fenomeno della dispersione. Più specificatamente, se ω(k) è una costante o al più lineare in k, non c'è dispersione e il pacchetto conserva il profilo iniziale. Per semplicità consideriamo il caso particolare:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Cioè la dipendenza temporale della ψ(x,t) è un'oscillazione sinusoidale di durata τ. In particolare nel punto (0,0,0) i.e. nel punto di trasmissione:

sonar,sommergibile,ultrasuoni

Per una frequenza ν0=21kHz
sonar,sommergibile,ultrasuoni

Per la durata di singolo impulso assumiamo τ=3.88×10^-3 s . L'andamento di f(t) è plottato in figura:

sonar,sommergibile,ultrasuoni

Calcolando la trasformata di Fourier della funzione f(t) otteniamo

sonar,sommergibile,ultrasuoni

Come è noto dall'Analisi di Fourier, tale funzione esprime la densità spettrale della f(t), ovvero definisce l'ampiezza delle componenti monocromatica di pulsazione compresa tra ω e ω+dω. In figura riportiamo la densità spettrale con i dati numerici visti sopra.

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

La "larghezza" della g(ω) è controllata dalla durata τ del segnale. Più precisamente, al crescere di τ, g(ω) diviene più piccata intorno a ω0, per cui il contributo proveniente dalle componenti di Fourier con ω diverso da ω0 diviene progressivamente più trascurabile. Viceversa, al diminuire progressivo di t vediamo che g(ω) tende ad "allargarsi". Ciò significa che le componenti di Fourier di pulsazione ω=ω0 assumono un'ampiezza non trascurabile. In generale, la larghezza di g(ω) è l'ampiezza dell'intervallo

sonar,sommergibile,ultrasuoni










Cioè

sonar,sommergibile,ultrasuoni

Passando alle frequenze:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

che definisce la banda delle frequenze di trasmissione. Per τ=3.88×10^-3 s:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

In altri termini, gli ultrasuoni del pacchetto d'onde trasmesso hanno frequenze variabili nel range ν1÷ν2, dove
autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

come illustrato in figura:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler
Banda di frequenze del trasmettitore.

Un generico pacchetto d'onde colpisce il bersaglio B, per essere riflesso verso T, e supponiamo che quest'ultimo sia equipaggiato con un sistema di ricezione in grado di rivelare il segnale riflesso. Facciamo ora la seguente ipotesi semplificativa:

  • La propagazione del segnale riflesso avviene per onde sferiche. Più precisamente, avviene isotropicamente nel semispazio di appartenenza del pacchetto incidente.

A questo punto, cerchiamo di eseguire una stima della sensibilità dell'apparato ricevente, in modo da poter determinare la massima portata del device. Denotiamo con E1 l'energia del pacchetto incidente, e con E2 l'energia del pacchetto riflesso nell'istante in cui interagisce con l'apparato ricevitore. A causa dell'attenuazione, ci aspettiamo che

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Abbiamo
autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

essendo ε un parametro adimensionale che definisce il minimo valore dell'energia che può essere misurato. Poniamo

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

onde

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Viceversa, se risulta

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

l'impulso riflesso non viene osservato. Il numero reale positivo µ (adimensionale) si chiama sensibilità del ricevitore.
Se S è la superficie del ricevitore, dal momento che la propagazione dei pacchetti riflessi avviene per onde sferiche, si ha
autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

dove s è la superficie della semisfera di raggio r (ascissa di B) e di centro B:
autovelox,ultrasuoni,effetto doppler


autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Tale grandezza definisce la massima distanza, nel senso che un bersaglio B può essere intercettato solo se dista da T di r<=rmax. Se r > rmax riesce E2 < e-2µE1 per cui B non viene intercettato. Si noti che la massima distanza è una funzione esponenzialmente crescente della sensibilità dell'apparato. Ad rmax corrisponde un tempo di percorrenza tra andata e ritorno, pari a

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

dove c è la velocità del suono nel mezzo considerato. I singoli pacchetti d'onda dovranno quindi essere trasmessi a intervalli di tempo
autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

affinchè sia possibile rivelare il pacchetto di ritorno, prima che venga trasmesso quello successivo. Ad esempio, se S=200cm² e µ=7.48:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Assumendo c=334m /s
autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

per cui i singoli pacchetti possono essere trasmessi a intervalli di tempo dell'ordine di 1s .
Consideriamo ora il bersaglio mobile lungo l'asse x con velocità v. Lo spostamento Doppler della frequenza della generica componente monocromatica del pacchetto riflesso è

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Cioè

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

dove v>0 se B si avvicina. Risolvendo rispetto a v:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

Ricordiamo che

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

con δν?=2/τ. Segue

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

onde

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

che ci consente di determinare la velocità v attraverso la misura di Δν a patto che sia Δν»δν. Quest'ultima condizione ci consente di ricavare una velocità minima:

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

ovvero

autovelox,ultrasuoni,effetto doppler

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: , ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio