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[¯|¯] Come costruire un SONAR con funzionalità di autovelox

Lug 16th, 2018 | by Marcello Colozzo |

sonar,sommergibile,ultrasuoni
Immagine tratta da Wikipedia

SONAR è l'acronimo di SOund Navigation And Ranging. Si tratta di un dispositivo ad ultrasuoni montato sui sommergibili, in quanto in navigazione subacquea non è possibile utilizzare le microonde a causa dell'elevato potere assorbitivo dell'acqua.

Di seguito lo schema di massima.

Un trasmettitore T emette ultrasuoni sottoforma di pacchetti d'onda piana longitudinale. La funzione d'onda di singolo pacchetto può essere scritta come

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dove k è il vettore di propagazione:
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essendo λ la lunghezza d'onda e n il versore della direzione orientata di propagazione. La grandezza ω(k) è, invece, la pulsazione in funzione del numero d'onde k=|k|. Come è noto dalla teoria della propagazione ondosa, tale funzione descrive il fenomeno della dispersione. Più specificatamente, se ω(k) è una costante o al più lineare in k, non c'è dispersione e il pacchetto conserva il profilo iniziale. Per semplicità consideriamo il caso particolare:

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Cioè la dipendenza temporale della ψ(x,t) è un'oscillazione sinusoidale di durata τ. Ponendo l'origine del sistema di riferimento in T, si ha:

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Per una frequenza ν0=21kHz

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Per la durata di singolo impulso assumiamo τ=2.619*10^-4 s . L'andamento di f(t) è plottato in figura:
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Calcolando la trasformata di Fourier della funzione f(t) otteniamo

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Come è noto dall'Analisi di Fourier, tale funzione esprime la densità spettrale della f(t), ovvero definisce l'ampiezza delle componenti monocromatica di pulsazione compresa tra ω e ω+dω. In figura riportiamo la densità spettrale con i dati numerici visti sopra.

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La "larghezza" della g(ω) è controllata dalla durata τ del segnale. Più precisamente, al crescere di τ, g(ω) diviene più piccata intorno a ω0, per cui il contributo proveniente dalle componenti di Fourier con ω=ω0 diviene progressivamente più trascurabile. Viceversa, al diminuire progressivo di t vediamo che g(ω) tende ad "allargarsi". Ciò significa che le componenti di Fourier di pulsazione ω=ω0 assumono un'ampiezza non trascurabile. In generale, la larghezza di g(ω) è l'ampiezza dell'intervallo

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Cioè

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Dopo questa necessaria premessa matematica, torniamo al trasmettitore ad ultrasuoni T. Se un pacchetto d'onde incontra un bersaglio B, viene riflesso verso T, e supponiamo che quest'ultimo sia equipaggiato con un sistema di ricezione in grado di rivelare il segnale riflesso. Facciamo ora le seguenti ipotesi semplificative:

  1. La propagazione del segnale riflesso avviene per onde sferiche. Più precisamente, avviene isotropicamente nel semispazio di appartenenza del pacchetto incidente.
  2. Il sistema ricevente ha una sensibilità tale da poter misurare un segnale la cui energia sia e-2µ volte minore di quella del pacchetto incidente, dove µ>0. Più precisamente, se E1 ed E2 denotano rispettivamente l'energia dell'onda incidente e riflessa, affinché il pacchetto riflesso possa essere rivelato deve essere:
  3. sonar,sommergibile,ultrasuoni

    Viceversa, se risulta
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    l'impulso riflesso non viene rivelato. Il numero reale positivo µ si chiama sensibilità del ricevitore.

Per quanto visto nel punto 2, se S è la superficie del ricevitore, si ha

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dove s è la superficie della semisfera di raggio r=TB (distanza tra T e B) e di centro B:

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Segue
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onde
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essendo
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Tale grandezza definisce la massima distanza, nel senso che un bersaglio B può essere intercettato solo se dista da T di r<=rmax. Si noti che la massima distanza è una funzione esponenzialmente crescente della sensibilità dell'apparato. Ad rmax corrisponde un tempo di percorrenza tra andata e ritorno, pari a

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dove c è la velocità del suono nel mezzo considerato. I singoli pacchetti d'onda dovranno quindi essere trasmessi a intervalli di tempo

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affinchè sia possibile rivelare il pacchetto di ritorno, prima che venga trasmesso quello successivo. Se il bersaglio B si muove con velocità v lungo la congiungente bersaglio-ricevitore (in allontanamento o in avvicinamento), lo spostamento Doppler della frequenza della generica componente monocromatica del pacchetto riflesso è

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Cioè

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dove v>0 se B si avvicina. Ricordiamo che

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con δν=1/τ. Segue

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onde

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da cui è possibile misurare la velocità v attraverso la misura di Δν.

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