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[¯|¯] Invarianza della simmetria di una relazione rispetto all'unione e all'intersezione

luglio 6th, 2018 | by Marcello Colozzo |

insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione


Proposizione 1
Ipotesi
Siano ρ12,...,ρN relazioni simmetriche in un assegnato insieme S, tali che
insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

Tesi
L'insieme

insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

è il grafico di una relazione simmetrica.

Dimostrazione

insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

Preso ad arbitrio (x,y) in G(ρ):
insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

Cioè
insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

da cui l'asserto.










Proposizione 2
Ipotesi
Siano ρ12,...,ρN relazioni simmetriche in un assegnato insieme S

Tesi
L'insieme

insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

è il grafico di una relazione simmetrica.

Dimostrazione
Sia ρ:S->P(S) tale che

insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

Preso ad arbitrio (x,y) in G(ρ):

insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

Cioè
insiemi,relazioni,proprietà simmetrica,unione,intersezione

da cui l'asserto.

In virtù delle proposizioni appena dimostrate, si ha che le operazioni di unione e di intersezione conservano la simmetria di una relazione.



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