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[¯|¯] Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza

giugno 29th, 2018 | by Marcello Colozzo |

relazioni di equivalenza,classi di equivalenza


Definizione
Una relazione ρ in un insieme S, si dice relazione di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Osservazione
Per quanto visto nel numero precedente, le proprietà di una relazione di equivalenza si traducono in proprietà del suo grafico. Precisamente, il grafico G(ρ) di una relazione di equivalenza è tale che

relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Proposizione 1
Comunque prendiamo una relazione di equivalenza ρ in S, si ha:
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Dimostrazione

relazioni di equivalenza,classi di equivalenza









Proposizione 2
Comunque prendiamo una relazione di equivalenza ρ in S, si ha:
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Dimostrazione
Implicazione diretta
Osserviamo innanzitutto che

relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Segue
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Scomponiamo la doppia implicazione <=>
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

onde l'asserto.
Implicazione inversa
Per ipotesi
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Per la proposizione precedente
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Proposizione 3
Comunque prendiamo una relazione di equivalenza ρ in S, si ha:

relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Dimostrazione
Implicazione inversa>
Per ipotesi

relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Per una proposizione dimostrata in una lezione precedente:
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

onde
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

da cui l'asserto.
Implicazione diretta
Ipotesi
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Segue
relazioni di equivalenza,classi di equivalenza

Per quanto precede, se ρ è una relazione di equivalenza in S, comunque prendiamo x in S si ha che ρ(x) è non vuoto e contiene x come elemento.
Definizione
Il sottoinsieme ρ(x) di S, si dice classe di equivalenza rispetto a ρ.

Per la proposizione 2 comunque prendiamo y in ρ(x) si ha ρ(x)=ρ(y). Cioè, le due classi di equivalenza ρ(x) e ρ(y) coincidono per ogni y in ρ(x). In altri termini, ogni elemento di una assegnata classe di equivalenza determina la medesima classe. Ne consegue che una classe di equivalenza è univocamente determinata da un suo elemento preso ad arbitrio.

In virtù della proposizione 3, se y non appartiene a ρ(x) cioè se x e y individuano due classi ρ(x) e ρ(y) distinte, necessariamente queste ultime sono disgiunte.
D'altra parte, se se y non appartiene a ρ(x) significa che x e y non sono in relazione.
Conclusione
Elementi che non sono in relazione di equivalenza tra loro, determinano classi di equivalenza disgiunte.



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