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[¯|¯] Le proprietà di una relazione si traducono in proprietà del grafico

giugno 28th, 2018 | by Marcello Colozzo |

insiemi,relazione,grafico


Dimostriamo alcune proposizioni che traducono le proprietà (riflessiva, simmetrica, etc.) in proprietà del grafico di una relazione.
Proposizione 1
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia riflessiva, è che la diagonale Δ del prodotto cartesiano S×S sia un sottoinsieme del grafico G(ρ). Cioè
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Dimostrazione

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Proposizione 2
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia simmetrica, è che il suo grafico sia simmetrico rispetto alla diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè

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ove G-1(ρ) è il simmetrico di G(ρ).

Dimostrazione
Premettiamo

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Segue
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D'altra parte
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Cioè
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Proposizione 3

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Dimostrazione

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Proposizione 3
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia antisimmetrica, è che l'intersezione del grafico con il suo simmetrico sia un sottoinsieme della diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè

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Dimostrazione

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Proposizione 4
Il grafico della relazione identica in S, è la diagonale di S×S.

Dimostrazione

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