Annunci AdSense






[¯|¯] Analisi spettrale dell'energia dissipata per effetto Joule

giugno 25th, 2018 | by Marcello Colozzo |

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier


Esercizio
La caduta di tensione ai capi di una resistenza R=20 Ohm è:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

con

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Sottoporre ad analisi spettrale la potenza dissipata per effetto Joule.

Soluzione
La funzione V(t) non è periodica, giacché è un'oscillazione cosinusoidale di durata τ<+oo
energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Scriviamo il suo sviluppo in integrale di Fourier

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

ovviamente:
energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

cioè la trasformata di Fourier di V(t).

Per agevolare il calcolo dell'integrale, scriviamo V(t) in forma complessa:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

onde

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier









Calcoliamo a parte l'integrale

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Quindi

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

il cui grafico è

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Per esplicitare il significato fisico della trasformata di Fourier di V()t riscriviamo lo sviluppo integrale nella forma:
energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

dove
energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Quindi V(t) si esprime come sovrapposizione lineare di infinite oscillazioni sinusoidali (componenti di Fourier) di frequenza ω variabile con continuità da -oo a +oo, e di ampiezza infinitesima dA(ω). Più precisamente:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

è l'ampiezza delle predette oscillazioni con frequenza compresa tra ω1 e ω1+dω. Ne consegue che la funzione non negativa:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

definisce la densità spettrale di V(t), i.e. l'ampiezza delle componenti di Fourier per intervallo unitario di frequenza. Nel sistema di unità di misura S.I. misuriamo la differenza di potenziale in Volt (V) e la frequenza in Hertz (Hz). Quindi la densità spettrale, ha le dimensioni di una d.d.p per un tempo, onde si misura in V/Hz . Nel caso in esame, la densità spettrale è

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

ed è graficata di seguito, da cui vediamo che il contributo dominante all'integrale di Fourier proviene dalle oscillazioni di frequenza prossima a ω0=50rad/s .

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

La potenza dissipata per effetto Joule dalla resistenza è:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

ove abbiamo utilizzato il modulo |·| giacché V(t) potrebbe essere espressa in forma complessa. Il valor medio in un intervallo Δt è:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Per definizione di potenza

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

dove E è l'energia media nell'intervallo Δt. Quindi

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

L'energia media nell'intervallo di tempo (-oo,+oo) detta anche energia totale:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Per l'uguaglianza di Parseval

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

La funzione non negativa w(ω) definisce lo spettro dell'energia media sviluppata dalla resistenza unitaria. Tale densità spettrale è impropriamente denominata spettro di potenza della d.d.p. V(t). Nella caso in esame è graficata in figura:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Abbiamo quindi eseguito un'analisi spettrale dell'energia dissipata per effetto Joule da una resistenza R=20 Ohm sottoposta a una d.d.p. data un'oscillazione cosinusoidale limitata nel tempo. Tuttavia, l'energia media si calcola facilmente nel dominio del tempo anziché nel dominio delle frequenze. Precisamente:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

onde

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Finalmente
energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Nel dominio della frequenza, invece, avremmo dovuto calcolare:

energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier

Tenendo conto del risultato precedente, possiamo scrivere:
energia,potenza dissipata,effetto Joule,trasformata di Fourier



Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.



No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: , , ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio