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[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica

giugno 21st, 2018 | by Marcello Colozzo |

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:

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Posto
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scriviamo

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che si legge "x è in relazione con x'".









Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa

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ove

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Definizione
Chiamiamo ρ-1 relazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.

Dimostrazione

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Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.

  1. Proprietà riflessiva
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
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  2. Proprietà simmetrica
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
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  3. Proprietà antisimmetrica
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
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  4. Proprietà transitiva
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se
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